نمایش مبدأ برای تربیع دایره

{{multiple image|width=250|image1=Squaring the circle.svg|caption1=تربیع دایره: مساحت‌های این مربع و این دایره هر دو برابر با {{pi}} هستند. در سال ۱۸۸۲ ثابت شد که این شکل را نمی‌توان در تعداد متناهی گام با خط‌کش‌وپرگار ترسیم‌کرد.|image2=Hipocrat arcs.svg|caption2=برخی از راه‌حل‌های جزئی ظاهری امید کاذبی را برای مدت طولانی ایجاد کردند. در این شکل، شکل سایه دار هلال بقراط است. مساحت آن برابر است با مساحت مثلث {{ریاضی|ABC}} (توسط بقراط کشف شده‌است)}}'''تربیع دایره''' {{به انگلیسی|Squaring the circle}}مسئله‌ای است که توسط [[فهرست هندسه‌دانان|هندسه‌دانان]] [[اروپای دوران قدیم|باستانی]] مورد مناقشه قرار گرفته‌است. این مسئله عبارت است از ساختن [[مربع|مربعی]] با [[مساحت]] یک [[دایره]] داده شده در تعداد متناهی مرحله با استفاده از [[ساخت با خط‌کش و پرگار|خط‌کش و پرگار]]. دشواری مسئله این سؤال را مطرح می‌کند که آیا [[اصل موضوع (منطق)|اصول]] [[هندسه اقلیدسی]] که وجود این خطوط و دایره‌ها را اثبات‌کند می‌تواند وجود چنین مربعی را اثبات‌کند.

در سال ۱۸۸۲، [[قضیه لیدمان-وایرشتراس]] ثابت‌کرد که [[عدد پی|پی]] ({{پی}}) یک عدد [[عدد متعالی|متعالی]] است نه یک عدد جبری نامنظم یعنی ثابت می‌کند که [[عدد پی|پی]] ({{پی}}) [[ریشه تابع|ریشه]] یک [[چندجمله‌ای|چند جمله ای]] باضرایب [[عدد گویا|گویا]] نیست. با استفاده از این قضیه ثابت می‌شود که تربیع دایره نیز غیرممکن است. برای دهه‌ها می‌دانستند که اگر {{پی}} یک عدد [[عدد متعالی|متعالی]] باشد، این کار (تربیع دایره) غیرممکن خواهد بود، اما متعالی بودن {{پی}} تا سال ۱۸۸۲ ثابت نشد. اگرچه، تربیع تقریبی با هر دقت داده شده‌ای، در تعداد محدودی از مراحل ممکن است، زیرا اعداد گویا بسیاری نزدیک به {{پی}} موجود هستند.

گاهی از عبارت «تربیع دایره» به عنوان استعاره‌ای برای تلاش برای انجام کاری غیرممکن استفاده می‌شود (خصوصاً در [[زبان انگلیسی]]).<ref>{{Cite web|last=Ammer|first=Christine|title=Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms|url=http://dictionary.reference.com/browse/square%20the%20circle|publisher=Houghton Mifflin Company|accessdate=16 April 2012}}</ref>

اصطلاح ''[[انتگرال عددی|مربع‌سازی]] دایره گاهی به معنای همان مربع کردن دایره'' استفاده می‌شود، اما ممکن است به روش‌های تقریبی یا عددی برای یافتن [[مساحت دایره|مساحت یک دایره]] نیز اشاره داشته باشد.

{{فهرست}}

== تاریخ ==
روش‌هایی برای تقریب مساحت یک دایره معین با یک مربع، که می‌توان آن را به‌عنوان مسئله‌ای اولیه برای تربیع دایره در نظر گرفت، قبلاً برای [[ریاضیات بابلیان|ریاضیدانان بابلی]] مطرح بود. [[پاپیروس ریاضی ریند|پاپیروس رایند]] مصری (مورخ ۱۸۰۰قبل از میلاد) مساحت یک دایره را عنوان می‌کند: <sup> 2</sup>{{ریاضی|''d''}}{{Sfrac|64|81}} که {{ریاضی|''d''}} قطر دایره است. در اصطلاح مدرن، معادل تقریب {{پی}} به{{Sfrac|256|81}} (تقریباً ۳٫۱۶۰۵)، عددی است که در پاپیروس قدیمی‌تر، [[پاپیروس ریاضی مسکو|پاپیروس مسکو]]، ظاهر شده و برای تقریب حجم استفاده می‌شده‌است (یعنی هکات (واحد حجم)). ریاضیدانان هندی نیز روشی تقریبی پیدا کردند که البته در ''شولبا سوتراه'' ''ثبت شده‌است''.<ref name=":0">{{Cite web|last=O'Connor, John J.|last2=Robertson, Edmund F.|year=2000|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_sulbasutras.html|title=The Indian Sulbasutras|website=MacTutor History of Mathematics archive|publisher=St Andrews University|access-date=۱۳ ژانویه ۲۰۲۲|archive-date=۷ آوریل ۲۰۱۶|archive-url=https://web.archive.org/web/20160407212457/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_sulbasutras.html|url-status=dead}}</ref> [[ارشمیدس]] اثبات کرد فرمول مساحت یک دایره {{ریاضی|1=''A'' = {{pi}}''r''<sup>2</sup>}} که در آن {{Mvar|r}} شعاع دایره است و مقدار {{پی}} را بین {{Sfrac|3|1|7}} (تقریباً ۳٫۱۴۲۹) و{{Sfrac|3|10|71}} (تقریباً ۳٫۱۴۰۸) درنظر گرفت. برای اطلاعات بیشتر در مورد تاریخچه، [[تقریب‌های عدد پی|تقریب عددی مقدار]] {{پی}} را ببینید.

اولین یونانی شناخته شده که با این مسئله دست‌وپنجه نرم کرد [[آناکساگوراس]] بود که در زندان روی آن کار می‌کرد. [[بقراط خیوسی]] خطوط مشخصی را مربع کرد، به این امید که به راه حلی برسد (برای اطلاعات بیشتر مقاله [[هلال بقراط]] را ببینید). آنتیفون سوفسطایی معتقد بود که نوشتن چندضلعی‌های منتظم در یک دایره و دو برابر کردن تعداد ضلع‌ها در نهایت مساحت دایره را پر می‌کند و از آنجایی که یک چند ضلعی را می‌توان تربیع کرد، به این معنی است که دایره را نیز می‌توان تربیع کرد. حتی در آن زمان نیز افراد شکاکی وجود داشتند، من‌جمله [[اودموس رودسی]]، استدلال می‌کردند که اندازه‌ها را نمی‌توان بدون محدودیت تقسیم کرد، بنابراین مساحت دایره هرگز پر نمی‌شود. این مشکل حتی در [[آریستوفان|نمایشنامه]] ''پرندگان'' آریستوفان نیز ذکر شد.

اعتقاد بر این است که [[اوینوپیدس|اونوپیدس]] اولین یونانی بود که به یک راه‌حل روی صفحه رسید (یعنی فقط با استفاده از پرگاروخط‌کش). [[جیمز گریگوری (ریاضی‌دان)|جیمز گرگوری]]''، سال ۱۶۶۷ در مقاله Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura'' (تربیع واقعی دایره و هذلولی) اثبات ناممکن بودن آن را انجام داد. اگرچه اثبات او دارای اشکال بود، اما این اولین مقاله ای بود که سعی در [[حل مسئله]] با استفاده از ویژگی‌های جبری عدد {{پی}} داشت. تنها در سال ۱۸۸۲ بود که [[فردیناند فون لیندمن|فردیناند فون لیندمان]] با برهان صحیح غیرممکن بودن آن را ثابت کرد.
چارلز لوتویج داجسون، ریاضی‌دان، منطق‌دان و نویسنده عصر ویکتوریایی، که بیشتر با نام مستعار [[لوئیس کارول]] می‌شد، نیز به رد کردن نظریه‌های غیرمنطقی تربیع دایره ابراز علاقه کرد. داجسون سال ۱۸۵۵، در یکی از یادداشت‌های روزانه‌اش، کتاب‌هایی را فهرست کرد که امیدوار بود بنویسد، از جمله کتابی به نام «حقایق ساده برای تربیع‌ها دایره». در مقدمه کتب «نظریه جدید موازی‌ها»، داجسون تلاشی را برای نشان دادن خطاهای منطقی به چند روش تربیع دایره را بازگو کرد و بیان کرد:<blockquote>اولین مورد از این دو رویاپردازی‌های گمراه، من را پر از جاه طلبی کرد تا شاهکاری را انجام دهم که هرگز نشنیده بودم که توسط انسان انجام شده باشد، یعنی متقاعد کردن انجام تربیع دایره از خطای خود! مقداری که دوست من برای Pi انتخاب کرد ۳٫۲ بود: خطای عظیم، من را با این ایده وسوسه کرد که می‌توان به راحتی نشان داد که یک خطا است. متأسفانه بعد از چندین نامه‌نگاری قبل از اینکه کاری کنم متقاعد شدم که هیچ شانسی ندارم.</blockquote>تمسخر تربیع دایره در ''کتاب بودجه پارادوکس‌ها''ی [[آگوستوس دمورگان]] که پس از مرگ توسط بیوه‌اش در سال ۱۸۷۲ منتشر شد، ظاهر می‌شود. او که در اصل این اثر را به‌عنوان مجموعه‌ای از مقالات در ''آتنئوم'' منتشر کرده بود، که در زمان مرگش آن را برای انتشار ویرایش می‌کرد. تربیع دایره که در قرن نوزدهم بسیار رایج بود، امروزه ندرتاً کسی از آن لذت می‌برد و اعتقاد بر این است که کار دمورگان به این امر کمک کرده‌است.

دو مشکل کلاسیک دیگر دوران باستان، که به دلیل غیرممکن بودن مشهور بودند، [[تضعیف مکعب]] و [[تثلیث زاویه]] بود. مانند تربیع دایره، این‌ها را نیز نمی‌توان با روش‌های پرگاروخط‌کش حل کرد. با این حال، بر خلاف تربیع دایره، آنها را می‌توان با روش‌ها کمی قدرتمندتر مانند [[اوریگامی]] حل کرد، همان‌طور که در هندسه تاکردن کاغذ توضیح داده شده‌است.

== عدم امکان ==
حل مسئله تربیع دایره توسط پرگار و خط‌کش مستلزم ترسیم جذر عدد {{پی}} است. اگر جذر {{پی}} قابل [[عدد ترسیم‌پذیر|ترسیم باشد]]، از [[ساخت با خط‌کش و پرگار|ساختارهای استاندارد]] می‌توان نتیجه گرفت که {{پی}} نیز قابل ساخت است. در سال ۱۸۳۷، [[پیر ونزل]] نشان داد که طول‌هایی که می‌توان با پرگار و خط‌کش ساخت باید حل معادلات چندجمله ای خاص با ضرایب گویا باشد.<ref name=":1">{{Cite journal|last=Wantzel|first=L.|author-link=Pierre Wantzel|date=1837|title=Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas|trans-title=Investigations into means of knowing if a problem of geometry can be solved with a straightedge and compass|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433110146044;view=1up;seq=380|journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|language=fr|volume=2|pages=366–372}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|year=1918|title=Pierre Laurent Wantzel|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=24|issue=7|pages=339–347|doi=10.1090/s0002-9904-1918-03088-7|mr=1560082|doi-access=free}}</ref> بنابراین، طول‌های قابل‌رسم باید [[عدد جبری|اعداد جبری]] باشند. اگر مشکل تربیع دایره را بتوان تنها با استفاده از پرگار و خط‌کش حل کرد، آنگاه {{پی}} باید یک عدد جبری باشد. [[یوهان هاینریش لمبرت]] در سال ۱۷۶۱ حدس زد که {{پی}} عدد جبری نیست، یعنی یک [[عدد متعالی]] است،<ref name=":3">{{Cite journal|last=Lambert|first=Johann Heinrich|author-link=Johann Heinrich Lambert|date=1761|title=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques|trans-title=Memoir on some remarkable properties of circular transcendental and logarithmic quantities|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433009864251;view=1up;seq=303|journal=Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin|language=fr|publication-date=1768|volume=17|pages=265–322}}</ref> او این کار را در همان مقاله ای انجام داد که در آن [[عدد گنگ|گنگ بودن]] آن را ثابت کرد، حتی قبل از اینکه وجود کلی [[اعداد متعالی]] ثابت شود. در سال ۱۸۸۲، [[فردیناند فون لیندمن|فردیناند فون لیندمان]] متعالی بودن {{پی}} را ثابت کرد و غیرممکن بودن ترسیم آن را را نشان داد.<ref name=":4">{{Cite journal|last=Lindemann|first=F.|author-link=Ferdinand von Lindemann|date=1882|title=Über die Zahl π|trans-title=On the number π|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102917051;view=1up;seq=237|journal=Mathematische Annalen|language=de|volume=20|pages=213–225|doi=10.1007/bf01446522}}</ref>

متعالی بود {{پی}} نتیجه می‌دهد که امکان دقیق تدویر مربع و تربیع دایره وجود ندارد.

البته می‌توان مربعی با مساحت دلخواه نزدیک به دایره ترسیم‌کرد. اگر یک عدد گویا به عنوان تقریبی از {{پی}} داده شود، بسته به مقادیر انتخاب شده، تربیع دایره ممکن می‌شود. با این حال، این فقط یک تقریب است و محدودیت‌های قوانین باستانی برای حل مشکل را ارضاء نمی‌کند. چندین ریاضیدان الگوریتم‌های قابل اجرا بر اساس تقریب‌های مختلف را نشان داده‌اند.

با نادیده‌گرفتن بعضی از قواعد که منجر به معرفی یک ابزار جدید می‌شود، یا انجام نامتناهی عملیات با پرگاروخط‌کش یا تغییر اصول‌موضوعه، رفتن در دنیای [[هندسه نااقلیدسی|هندسه‌های غیر اقلیدسی]]، تربیع دایره ممکن می‌شود. به عنوان مثال، تربیع هیپیاس، مانند [[مارپیچ ارشمیدس|مارپیچ ارشمیدسی]]، ابزاری را برای تربیع دایره و همچنین [[تثلیث زاویه]] فراهم می‌کند. اگر چه تربیع دایره را نمی‌توان در [[فضای اقلیدسی]] انجام داد، اما گاهی می‌توان در [[هندسه هذلولوی|هندسه هذلولی]] تحت تعاریف مناسب این کار را کرد.<ref name=":5">{{Cite journal|last=Jagy|first=William C.|year=1995|title=Squaring circles in the hyperbolic plane|url=http://zakuski.math.utsa.edu/~jagy/papers/Intelligencer_1995.pdf|journal=Mathematical Intelligencer|volume=17|issue=2|pages=31–36|doi=10.1007/BF03024895}}</ref> از آنجایی که هیچ مربعی در صفحه هذلولی وجود ندارد، باید نقش آنها را توسط ''چهارضلعی‌های منتظم''، یعنی چهارضلعی‌هایی که همه اضلاع و زوایای آن همگن هستند (اما این زوایا به شدت کوچکتر از زوایای قائم هستند) ایفا نمود. در صفحه هذلولی، بی‌نهایت جفت دایره‌های قابل‌ساخت و چهارضلعی منتظم قابل‌ساخت با مساحت مساوی وجود دارد که در نتیجه، تربیع دایره ممکن می‌شود. در این هندسه، هیچ روشی برای شروع با یک چهارضلعی منتظم و ساختن دایره با مساحت مساوی وجود ندارد. همچنین هیچ روشی برای شروع با یک دایره و ساختن یک چهارضلعی منتظم با مساحت مساوی وجود ندارد (حتی زمانی که دایره شعاع کمی داشته باشد به طوری که یک چهارضلعی منتظم مساحت مساوی وجود دارد).

== ترسیم‌ها تقریبی مدرن ==
اگرچه تربیع دایره با دقت کامل با استفاده از خط‌کش و پرگار یک مسئله غیرممکن است ولی می‌توان تقریبی برای تربیع دایره، با ساخت طول‌هایی نزدیک به {{پی}}، که قابل ترسیم باشد ارائه نمود. برای تبدیل هر تقریب معینی از {{پی}}، فقط حداقل دانش هندسه ابتدایی لازم است تا با استفاده از خط‌کش‌وپرگار، تربیع دایره را رسم کرد. اما مراحل ترسیم تقریبی در مقایسه با دقتی که به دست می‌آورند، بسیار طولانی هستند. پس از اینکه حل نشدن مسئله به‌طور دقیق ثابت شد، برخی از ریاضیدانان تلاش خود را برای یافتن تقریب‌هایی برای تربیع دایره به کار بردند، که به‌طور تقریبی و غیررسمی به عنوان ترسیم‌هایی که در میان سایر ترسیم‌های قابل تصوری که دقت مشابهی ارائه می‌دهند، بسیار ساده هستند.

=== ترسیم کوچانسکی ===
یکی از اولین ترسیم‌ها تقریبی در تاریخ تقریب کوچانسکی است که تا ۴ رقم اعشار به {{پی}} میل می‌کند. در زمان کشف این‌ترسیم بسیار شهودی بود(1685).<ref name=":0"/> {{multiple image|align=left|image1=Kochanski-1.svg|width1=310|alt1=|caption1=ترسیم تقریبی کوچانسکی|image2=Quadratur des kreises.svg|width2=300|alt2=|caption2=ادامه ترسیم تقریبی کوچانسکی|footer=}}

:
:
:
:
:
:
:
: در دیاگرام سمت چپ:<math>|P_3 P_9|=|P_1 P_2|\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}\approx 3.141\,5{\color{red}33\,338}\cdot|P_1 P_2|\approx \pi r.</math>

=== ترسیم توسط ژاکوب د گلدر ===
[[پرونده:01_Squaring_the_circle-Gelder-1849.svg|بندانگشتی|350x350پیکسل|ترسیم ژاکوب د گلدر با ادامه آن]]
در سال ۱۸۴۹ یک ترسیم زیبا و ساده توسط ژاکوب د گلدر (۱۷۶۵–۱۸۴۸) در ''آرشیو گرونرت'' منتشر شد. این ترسیم ۶۴ سال زودتر از ترسیم قابل مقایسه، که توسط رامانوجان نشان داده‌شده‌بود، ارائه شد. این ترسیم بر اساس تقریب زیر است:

: <math>\pi\approx\frac{355}{113} = 3.141\;592{\color{red}\;920\;\ldots}</math>

این مقدار تا شش رقم اعشار دقیق است و از قرن پنجم در [[چین]] به عنوان کسر [[تسو چونگچی]] و در اروپا از قرن هفدهم شناخته شده‌است.

گلدر ضلع مربع را نساخته‌است. برای او کافی بود که مقدار زیر را بیابد:

: <math>\overline{AH}= \frac{4^2}{7^2+8^2}</math> .

تصویر مقابل - که در زیر توضیح داده شده‌است - ترسیم ژاکوب د گلدر را ادامه می‌دهد.

دو خط مرکزی عمود بر یکدیگر از یک دایره با شعاع {{Overline|CD}} = ۱ رسم کنید و نقاط تقاطع A و B را بگذارید. پاره خط {{Overline|CE}} = <math>\tfrac{7}{8}</math> را ثابت کرده و E را به A وصل کنید. روی پاره‌خط {{Overline|AE}} و از A نقطه F را به گونه‌ای تعیین کنید که خط {{Overline|AF}} = <math>\tfrac{1}{2}</math>شود. {{Overline|FG}} راموازی با {{Overline|CD}} رسم کنید و E را به G وصل کنید. {{Overline|FH}} را موازی با {{Overline|EG}} بکشید، آنگاه{{Overline|AH}} =<math>\tfrac {4^2}{7^2 + 8^2}</math>  . سپس ۴ پاره‌خط را به‌گونه‌ای رسم که {{Overline|BJ}} = {{Overline|CB}} و {{Overline|JK}} = {{Overline|AH}}. سپس{{Overline|AK}} را در L نصف کنید و از [[قضیه تالس (دایره)|قضیه تالس]] حول L از A استفاده کنید که نقطه تقاطع M را به دست می‌آورد. پاره خط {{Overline|BM}} جذر {{Overline|AK}} و در نتیجه طول ضلع است. <math>a</math> اندازه ضلع مربع جستجو شده تقریباً با همان مساحت می‌باشد.

مثال‌هایی برای نشان دادن خطاها:
* در دایره ای به شعاع ۱۰۰ کیلومتر، خطا طول ضلع ۷٫۵ میلی‌متر است
* در مورد دایره ای با شعاع ۱متر، خطای مساحت ۰٫۳ میلی‌متر مربع است.

=== ترسیم توسط هابسون ===
یکی از ترسیم‌ها تقریبی مدرن، ترسیم ارنت ویلیام هابسون در سال ۱۹۱۳ است. این ترسیم نسبتاً دقیق که در ترسیم بر مقدار تقریبی …۳٫۱۴۱۶۴۰۷۹ متکی بوده‌است که دقیقاً تا سه رقم اعشار را برآورد کرده‌است (یعنی آن را از {{پی}} حدود {{Val|4.8|e=-۵}} متفاوت است).
[[پرونده:01_Squaring_the_circle-Hobson.svg|راست|بندانگشتی|280x280پیکسل|ترسیم هابسون با ادامه]]

:: «برای ما …''{{درشت|GH}}'' = r.1.77246 است که، و از 77245<sup>'''.'''</sup> ۱  =  <math> \sqrt{\pi}</math> می‌بینیم که ''{{درشت|GH}}'' بزرگتر از ضلع مربعی است که مساحت آن با دایره کمتر از دویست هزارم شعاع برابر است.»

هابسون در ترسیم خود به {{پی}} اشاره ای نمی‌کند. تصویر سمت راست ترسیم هابسون را با ادامه نشان می‌دهد.

=== ترسیم رامانوجان ===
ریاضی‌دان هندی [[سرینیواسا رامانوجان]] در سال ۱۹۱۳،<ref name=":6">{{Cite web|last=Wolfram|first=Stephen|authorlink=Stephen Wolfram|title=Who Was Ramanujan?|url=http://blog.stephenwolfram.com/2016/04/who-was-ramanujan/}} See also [http://www.math.tifr.res.in/~publ/nsrBook1.pdf#54 MANUSCRIPT BOOK 1 OF SRINIVASA RAMANUJAN page 54] Both files were retrieved at 23 June 2016</ref><ref name=":7">{{Cite journal|last=Castellanos|first=Dario|date=April 1988|title=The Ubiquitous π|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1988-04_61_2/page/67|journal=[[Mathematics Magazine]]|language=en|volume=61|issue=2|pages=67–98|doi=10.1080/0025570X.1988.11977350|issn=0025-570X}}</ref> کارل اولدز در سال ۱۹۶۳، [[مارتین گاردنر]] در سال ۱۹۶۶ و بنجامین بولد در سال ۱۹۸۲ همگی ترسیم‌ها هندسی برای عدد زیر ارائه کردند:

: <math>\frac{355}{113} = 3.141\;592{\color{red}\;920\;\ldots}</math>

که تا شش رقم اعشار {{پی}} برابر است.

{{multiple image|align=left|image1=Approximately squaring the circle.svg|width1=221|alt1=|caption1=ترسیم تقریب رامانوجان با هدف تقریب {{sfrac|355|113}}
که {{overline|DR}} ضلع مربع می‌باشد.|image2=Squaring the circle-Ramanujan-1913.png|width2=180|alt2=|caption2=ترسیمی از" کتاب ۱ خطی از رامانوجان " صفحهٔ ۵۴|footer=}}

در سال ۱۹۱۴، رامانوجان ترسیم با خط‌کش‌وپرگار را ارائه داد که معادلاً با در نظر گرفتن مقدار تقریبی {{پی}} بود.

: <math>\left(9^2 + \frac{19^2}{22}\right)^\frac14 = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.141\;592\;65{\color{red}2\;582\;\ldots}</math>

دادن هشت رقم اعشار {{پی}}.<ref name=":8">S. A. Ramanujan: [http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf#page=18&zoom=90,-252,741 ''Modular Equations and Approximations to π''] In: Quarterly Journal of Mathematics. ''12. Another curious approximation to π is'', '''43''', (1914), S. 350–372. Listed in: [http://ramanujan.sirinudi.org/html/published_papers.html Published works of Srinivasa Ramanujan]</ref> او ترسیم خود را تا زمان ساخت قسمت پاره‌خط OS به صورت زیر ارائه داده‌است:<ref>S. A. Ramanujan: [http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf#page=19&zoom=100,-196,725 ''Modular Equations and Approximations to π''] In: Quarterly Journal of Mathematics. ''12. Another curious approximation to π is … Fig. 2'', '''44''', (1914), S. 350–372. Listed in: [http://ramanujan.sirinudi.org/html/published_papers.html Published works of Srinivasa Ramanujan]</ref>

{{گفتاورد|"فرض کنید AB (شکل سمت چپ) قطر دایره‌ای، که مرکز آن O است، باشد. هلال ACB را در C نصف کنید و AO را در T ثلث‌کنید. BC را وصل کنید و CM و MN مساوی با AT را از BC جدا کنید. AM و AN را وصل‌کنید و از AP برابر با AM جدا کنید. از P پاره‌خط PQ را موازی با MN و متقاطع با AM در Q رسم کنید. OQ را وصل کنید و از طریق T پاره‌خط TR را موازی با OQ و متقاطع با AQ در R رسم کنید. AS را عمود بر AO و برابر با AR رسم کنید و به OS وصل‌کنید. سپس میانگین تناسب بین OS و OB تقریباً برابر با یک ششم محیط خواهد بود، زمانی که قطر ۸۰۰۰ مایل طول دارد، خطا کمتر از یک دوازدهم اینچ است. "}}

در این تربیع، رامانوجان طول ضلع مربع را نسازد، فقط کافی بود پاره‌خط {{Overline|OS}} را نشان دهد. در ادامه ترسیم، از پاره‌خط {{Overline|OS}} همراه با پاره‌خط {{Overline|OB}} برای نشان دادن میانگین تناسبات (پاره‌خط قرمز {{Overline|OE}}) استفاده شده‌است.
[[پرونده:Squaring_the_circle-Ramanujan-1914.svg|راست|بندانگشتی|407x407پیکسل|ترسیم تقریبی روش رامانوجان در ۱۹۱۴ برای تربیع دایره، با ادامه ترسیم (خطوط چین، خط قرمز متناسب).]]
ادامه ترسیم تا طول ضلع مورد نظر a مربع:

{{Overline|AB}} را از A امتداد دهید و قوس دایره ای b <sub>1</sub> را، که متعلق به دایره ای با مرکز O و شعاع {{Overline|OS}} است، تقاطع دهید و در نتیجه 'S حاصل می‌شود. پاره‌خط {{Overline|'BS}} را در D نصف کنید و نیم دایره b <sub>2</sub> را حول D رسم کنید. یک خط مستقیم از O تا C تا نیم دایره b <sub>2</sub> بکشید و آن را با E نام‌گذاری کنید. b <sub>2</sub> در E نصف شده‌است. پاره خط {{Overline|OE}} میانگین بین {{Overline|'OS}} و {{Overline|OB}} است [[میانگین هندسی|که میانگین هندسی]] نیز نامیده می‌شود. پاره خط {{Overline|EO}} از O ادامه دهید و {{Overline|EO}} را دو برابر طولش ادامه دهید و به اندازه طولش نقاط F و A <sub>1</sub> را جدا کنید؛ بنابراین طول پاره خط {{Overline|EA1}} با مقدار تقریبی توصیف شده در بالا، یعنی {{پی}}، نصف محیط دایره برابر است. پاره خط {{Overline|EA<sub>1</sub>}} را در G نصف کنید و نیم دایره b <sub>3</sub> را حول G رسم کنید. به اندازه طول پاره‌خط {{Overline|OB}} در امتداد پاره خط{{Overline|EA<sub>1</sub>}} به سمت A <sub>1</sub> بروید و آن را H بنامید. یک خط عمود از H تا نیم دایره b <sub>3</sub> روی {{Overline|EA<sub>1</sub>}} رسم کنید. آن را B <sub>1</sub> بنامید. A <sub>1 را</sub> به B <sub>1</sub> وصل‌کنید. در نتیجه ضلع جستجوی ''a'' از مربع A <sub>1</sub> B <sub>1</sub> C <sub>1</sub> D <sub>1</sub> ساخته می‌شود که تقریباً مساحت دایره داده شده را دارد.

مثال‌هایی برای نشان دادن خطاها:
* در دایره ای به شعاع ۱۰۰۰۰ کیلومتر، خطا طول ضلع -۲٫۸ میلی‌متر است
* در مورد دایره ای با شعاع ۱متر، خطای مساحت -۰٫۱ میلی‌متر مربع است.

=== ترسیم با استفاده از نسبت طلایی ===
* در سال ۱۹۹۱، رابرت دیکسون ترسیمی برای

:: <math>\frac{6}{5}\cdot \left( 1 + \varphi\right) = 3.141\;{\color{red}640\;\ldots},</math>
: ارائه‌داد به طوریکه <math>\varphi</math> [[نسبت طلایی|نسبت طلایی است]]. سه رقم اعشار آن با سه رقم {{پی}} برابر است
* [[پرونده:01 Squaring the circle-Dixon.svg|بندانگشتی|ترسیم تقریبی با استفاده از نسبت طلایی<math>\sqrt{\overline{AE} + 1 + \tfrac{1}{5}\cdot(1 + \overline{AE})} = \sqrt{AG} = a \approx\sqrt{\pi}</math>]]اگر شعاع <math>r = 1</math> و ضلع مربع

:: <math>a =\sqrt{\frac{6}{5}\cdot\left(1+\varphi \right)} = \sqrt{\varphi +1 +\frac{1}{5}\cdot\left(1+\varphi \right)} = 1.772\;4{\color{red}67\;\ldots}</math>
: فرمول دوم تعمیم یافته، توالی مراحل را، برای ساخت مربع (مربع برابر با مساحت دایره) نشان می‌دهد (تصویر روبرو را ببینید). چهار رقم اعشار آن با ریشه‌دوم {{پی}} یکسان است.

== ترببع یا مربع‌سازی به عنوان انتگرال‌گیری ==
پیدا کردن مساحت زیر یک منحنی، به عنوان مسئله [[انتگرال]] در [[حسابان|حساب دیفرانسیل و انتگرال]] شناخته شده، یا به اسم مسئله [[انتگرال عددی|مربع‌سازی]] در [[آنالیز عددی]]، و قبلاً از آن (مسئله انتگرال) به عنوان ''تربیع''، پیش از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال، یاد می‌شد. از آنجایی که تکنیک‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال ناشناخته بودند، معمولاً فرض بر این بود که تربیع باید از طریق ساختارهای هندسی، یعنی توسط خط‌کش‌وپرگار، انجام شود. به عنوان مثال، [[آیزاک نیوتن|نیوتن]] در سال ۱۶۷۶ به [[هنری اولدنبرگ|اولدنبورگ]] نوشت: «من معتقدم که لایب‌نیتس از قضیه ای که در ابتدای حرف من صفحه ۴ است برای '''تربیع خطوط منحنی''' هندسی بدش نخواهد آمد.» (تأکید شده‌است). پس از آنکه نیوتن و [[گوتفرید لایبنیتس|لایب‌نیتس]] حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کردند، هنوز از مسئله انتگرال به عنوان تربیع منحنی یاد می‌کردند.

== ادعاهای تربیع دایره ==
=== ارتباط با مشکل طول جغرافیایی ===
اثبات ریاضی مبنی بر [[انتگرال عددی|غیرممکن بودن مربعات]] دایره تنها با استفاده از خط‌کش‌وپرگار، مانعی برای بسیاری از افرادی که سال‌ها روی این مسئله سرمایه‌گذاری کرده‌اند، نبوده‌است. تربیع دایره به [[نوابیغ|ادعای نوابیغ]] معروف است(''همچنین به'' [[شبه‌ریاضیات|شبه ریاضیات]] مراجعه کنید). [[توماس هابز|فیلسوف انگلیسی توماس هابز]] در سنین پیری خود را متقاعد کرد که در تربیع دایره موفق بوده‌است، ادعایی که توسط [[جان والیس]] به عنوان بخشی از مناقشه هابز و والیس رد شد.<ref name="Wallis">{{Cite web|last=Boyd|first=Andrew|title=HOBBES AND WALLIS|website=Episode 2372|publisher=[[The Engines of Our Ingenuity]]|date=2008|url=https://www.uh.edu/engines/epi2372.htm|accessdate=2020-11-14}}</ref><ref name="detail">{{Cite journal|last=Bird|first=Alexander|year=1996|title=Squaring the Circle: Hobbes on Philosophy and Geometry|url=https://seis.bristol.ac.uk/~plajb/research/papers/Squaring_the_Circle.html|journal=[[Journal of the History of Ideas]]|volume=57|issue=2|pages=217–231|access-date=۱۵ ژانویه ۲۰۲۲|archive-date=۱۶ ژانویه ۲۰۲۲|archive-url=https://web.archive.org/web/20220116220209/https://seis.bristol.ac.uk/~plajb/research/papers/Squaring_the_Circle.html|url-status=dead}}</ref>

در طول قرن ۱۸ و ۱۹، به نظر می‌رسد این تصور که مسئله تربیع دایره به‌نحوی با مشکل [[طول جغرافیایی]] مرتبط است، در میان تربیع‌کنندگان دایره احتمالی رایج شده‌است. [[آگوستوس دمورگان]] با استفاده از کلمه «سیکلومتر» برای تربیع‌کنندگان دایره در سال ۱۸۷۲ نوشت:<blockquote>[[ژان اتین مونتوکلا|مونتوکلا]] به زبان فرانسوی می‌گوید که سه مفهوم را در میان سیکلومترها رایج می‌یابد: ۱. اینکه پاداش بزرگی برای موفقیت آن ارائه‌شده‌است. ۲. اینکه مشکل طول جغرافیایی به حل آن بستگی دارد. ۳. راه حل پایان بزرگ و شیء هندسه است. همین سه مفهوم در میان یک طبقه در انگلستان به یک اندازه رایج است. هیچ جایزه ای از سوی دولت هیچ کشوری ارائه نشده‌است.</blockquote>اگرچه از سال ۱۷۱۴ تا ۱۸۲۸، دولت بریتانیا در واقع از یک جایزه ۲۰۰۰۰ پوندی برای یافتن راه حلی برای مسئله طول جغرافیایی حمایت کرد، اما دلیل ایجاد ارتباط آن مسئله با تربیع دایره مشخص نیست. به ویژه از آنجایی که دو روش غیر هندسی (روش نجومی فواصل قمری و کرونومتر مکانیکی) در اواخر دهه ۱۷۶۰ کشف شد، هیئت طول جغرافیایی پیشنهادهای زیادی دریافت کرد، از جمله: تعیین طول جغرافیایی با «تربیع کردن دایره»، با این حال [[هیئت مدیره]] «هیچ توجهی» به آن نکرد. دمورگان ادامه می‌دهد که «مسئله طول جغرافیایی به هیچ وجه به راه حل کامل تربیع دایره بستگی ندارد؛ تقریب‌های موجود دقت بسیار بیشتری از آنچه که می‌خواستیم به ما داده‌اند.» دمورگان در کتاب خود همچنین به دریافت نامه‌های تهدیدآمیز زیادی از سوی دایره‌بازان احتمالی اشاره می‌کند که او را به تلاش برای «فریب دادن آنها برای نرسیدن به جایزه‌شان» متهم می‌کنند.

=== سایر ادعاهای مدرن ===
[[پرونده:Heisel_Cover.jpg|بندانگشتی|کتاب هایزل ۱۹۳۴]]
حتی پس از اینکه عدم امکان حل مسئله اثبات شد، در سال ۱۸۹۴، ریاضیدان آماتور ادوین جی گودوین ادعا کرد که روشی برای تربیع دایره ایجاد کرده‌است. تکنیکی که او توسعه داد، دایره را دقیقاً تربیع نمی‌کند، و یک مساحت نادرست از دایره را ارائه می‌کند که اساساً پی را برابر با ۳٫۲ بازتعریف خواهدکرد. گودوین سپس لایحه ایندیانا پی را در مجلس قانونگذاری ایالت ایندیانا پیشنهاد کرد که به ایالت اجازه می‌داد از روش او در آموزش استفاده کند بدون اینکه حق امتیازی به او بپردازدند. این لایحه بدون هیچ اعتراضی در مجلس ایالتی تصویب شد، اما این لایحه در سنا مطرح شد و هرگز در سنا به رای گذاشته نشد، زیرا مطبوعات روشش را مسخره کردند.<ref name=":1"/>

کارل تئودور هایزل، [[نوابیغ|نابغه]] ریاضی نیز در کتاب خود در سال ۱۹۳۴ ادعا کرد که دایره را تربیع کرده‌است، «ببین! مسئله بزرگ، حل نشده باقی نمانده‌است: دایره تربیع‌شده فراتر از رد کردن» [[پل ریچارد هالموس|پل هالموس]] از این کتاب به عنوان «کتاب کلاسیک [[نوابیغ]]» یاد کرد.<ref name=":2"/>

در سال ۱۸۵۱، جان پارکر کتابی به نام ''Quadrature of the Circle منتشر'' کرد که در آن ادعا کرد دایره را تربیع کرده‌است. روش او در واقع تقریبی از {{پی}} تا شش رقم است.<ref name=":3"/><ref name="schepler">{{Cite journal|last=Schepler|first=Herman C.|year=1950|title=The chronology of pi|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=23|issue=3|pages=165–170, 216–228, 279–283|doi=10.2307/3029284|jstor=3029832|mr=0037596}}</ref>

== در ادبیات ==
[[پرونده:Finé, Oronce – Quadratura circuli, 1544 – BEIC 99133.jpg|بندانگشتی|Oronce Finé، ''Quadratura circuli'', 1544[[پرونده:Faurè_-_Dissertation,_découverte,_et_demonstrations_de_la_quadrature_mathematique_du_cercle,_1747_-_1515965.jpg|بندانگشتی|JP de Faurè, ''Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature'' matheatique du cercle, 1747]]]]
مسئله تربیع دایره توسط شاعرانی مانند [[دانته آلیگیری|دانته]] و [[الکساندر پوپ]] با معانی [[استعاره|استعاری]]<nowiki/>‌ای متنوع ذکر شده‌است. استفاده ادبی آن حداقل به سال ۴۱۴ قبل از میلاد برمی گردد، زمانی که نمایشنامه ''پرندگان'' اثر [[آریستوفان]] برای اولین بار اجرا شد. در آن، شخصیت [[متون|متون آتن]] از تربیع دایره برای نشان دادن ماهیت متناقض شهر اتوپیایی خود یاد می‌کند.<ref name=":4"/>

''بهشت'' دانته، canto XXXIII، سطرهای ۱۳۳–۱۳۵، حاوی نظم‌های زیر است:<poem style="margin-left: 2em">
As the geometer his mind applies
To square the circle, nor for all his wit
Finds the right formula, howe'er he tries</poem>معنی شعر این است: به جای استفاده از هندسه، از ذهنش استفاده می‌کند تا دایره را تربیع کند و این به خاطر هوشش نیست که می‌خواهد فرمول صحیح پیدا کند اگرچه تلاش می‌کند.

برای دانته، تربیع دایره را کاری فراتر از ادراک انسانی را نشان می‌دهد و آن را با ناتوانی خود در درک بهشت مقایسه می‌کند.<ref name=":5"/>

در سال 1742، زمانی که [[الکساندر پوپ]] چهارمین کتاب خود، ''دانسیاد''، را منتشر کرد، تلاش‌هایش برای تربیع دایره به عنوان «وحشی و بی‌ثمر» تلقی می‌شد:<ref name="schepler"/><poem style="margin-left: 2em">Mad Mathesis alone was unconfined,
Too mad for mere material chains to bind,
Now to pure space lifts her ecstatic stare,
Now, running round the circle, finds it square.</poem>معنی: مد مثیس تنها، ناآگاه بود و بسیار دیوانه تا مواد زنجیرها را به هم پیوند دهد. اکنون دنیای سره حالت نشئگی‌اش را بلند کرد و اکنون او دور دایره می‌دود و تربیع دایره را پیدا می‌کند.

به طور مشابه، در یک نمایش اپرا طنز از [[گیلبرت و سالیوان]] به‌نام ''پرنسس آیدا'' دارای آهنگی است که به صورت طنز اهداف غیرممکن دانشگاه زنان را که توسط شخصیت اصلی اداره می‌شود، مانند یافتن [[حرکت دائمی]] فهرست کرده‌است. یکی از این اهداف، دایره‌ای بود که آن‌ها (مدیران دانشگاه زنان) در یک روز آفتابی مربع‌اش خواهند کرد.<ref name=":6"/>

سستینا شکلی شاعرانه است که برای اولین بار در قرن دوازدهم توسط [[آرنو دانیل]] استفاده شد. گفته می‌شود که دایره را با استفاده از مربع سطور (شش بند از شش سطر) که با طرح دایره‌ای از شش کلمه تکرار شده، تربیع می‌کند{{Harvard citation text|اسپانوس|۱۹۷۸}}. می‌نویسد که این شکل معنای نمادینی را نشان می‌دهد که در آن دایره به معنای بهشت و مربع نشان دهنده زمین است.<ref name=":7"/> استعاره مشابهی از «تربیع دایره»، در داستان کوتاهی در ۱۹۰۸ توسط [[او. هنری|هنری]]، در مورد یک خصومت خانوادگی طولانی‌مدت استفاده شد. در عنوان این داستان، دایره نشان دهنده جهان طبیعی است، در حالی که مربع نشان دهنده شهر، جهان انسان، است.

در آثار دیگر، تربیع کنندگان دایره، افرادی مانند لئوپولد بلوم در رمان ''[[اولیس (رمان)|اولیس]]'' اثر [[جیمز جویس]] یا وکیل پاراوانت در رمان ''[[کوه جادو|کوه جادوی]]'' اثر [[توماس مان]]، متوهمان یا رویاپردازان غیردنیایی دیده می‌شوند که از محال بودن ریاضی آن (تربیع دایره) بی‌اطلاع هستند و برای نتیجه (تربیع دایره) خود نقشه‌های بزرگی می‌کشند ولی هرگز نقشه‌هایشان عملی نمی‌شود.<ref name=":8"/>

== جستارهای وابسته ==
* برای یک مسئله جدیدتر مرتبط، به [[مسئله تربیع دایره تارسکی]] مراجعه کنید.
* [[مربع‌گوشه‌گرد]] یک شکل ریاضی است که ویژگی‌هایی بین یک مربع و یک دایره دارد.

== منابع ==
{{پانویس}}
{{پانویس|مراجع}}{{ریاضیات یونان باستان}}

{{دایره}}

[[رده:تربیع دایره| ]]
[[رده:پی]]
[[رده:تاریخ هندسه]]
[[رده:ساخت با خط‌کش و پرگار]]
[[رده:شبه‌ریاضیات]]
[[رده:مسئله‌های حل‌نشدنی ریاضیات]]
[[رده:مسئله‌های ریاضی]]
[[رده:معماهای غیرقابل‌حل]]