نمایش مبدأ برای تحلیل شبکه (مدارهای الکتریکی)

{{تجزیه و تحلیل شبکه}}
شبکه، در زمینه [[مهندسی برق]] و [[الکترونیک]]، مجموعه‌ای از اجزای به هم پیوسته‌است. '''تحلیل شبکه''' فرایند یافتن ولتاژها و جریان‌های عبوری از تمام اجزای شبکه است. فنون‌های زیادی برای محاسبه این مقادیر وجود دارد. با این حال، در اکثر موارد، فن اجزای [[خطسانی|خطی]] را فرض می‌کنند. به جز موارد ذکرشده، روش‌های شرح‌داده‌شده در این مقاله فقط برای تحلیل شبکه ''خطی'' قابل استفاده هستند.

== تعاریف ==
{| class="wikitable"
|'''[[قطعات الکترونیکی|قطعه]]'''
| افزاره‌ای با دو یا چند [[پایانه (الکترونیک)|پایانه]] که ممکن است جریان به داخل یا خارج از آنها جریان یابد.
|- valign="top"
| '''[[گره (مدار الکتریکی)|گره]]'''
| نقطه‌ای که در آن پایانه‌های بیش از دو جزء به هم متصل می‌شوند. رسانایی با مقاومتِ اساساً صفر به‌عنوان یک گره برای تحلیل در نظر گرفته می‌شود.
|- valign="top"
| '''شاخه'''
| جزء(ها) که دو گره را به هم پیوندمی‌زنند.
|- valign="top"
| '''[[تحلیل مش|مش]]'''
| گروهی از شاخه‌ها در یک شبکه به هم‌پیوسته تا یک حلقه کامل تشکیل دهند به طوری که حلقه دیگری در داخل آن وجود نداشته باشد.
|- valign="top"
| '''[[درگاه (نظریه مدار)|درگاه]]'''
| دو پایانه که جریان ورودی به یکی با جریان خروجی دیگری یکسان است.
|- valign="top"
| '''[[مدار الکتریکی|مدار]]'''
| جریانی از یک پایانه [[مولد الکتریکی|منبع]]، از طریق قطعه‌(های) بار و به پایانه دیگر برمی‌گردد. یک مدار، از این نظر، یک شبکه یک-درگاهی است و یک مورد بدیهی برای تحلیل است. اگر هر گونه اتصال به مدارهای دیگری وجود داشته باشد، یک شبکه نابدیهی تشکیل شده‌است و حداقل دو درگاه باید وجود داشته باشد. اغلب، «مدار» و «شبکه» به جای یکدیگر استفاده می‌شوند، اما بسیاری از تحلیل‌گران «شبکه» را به معنای مدل ایده‌آلی متشکل از اجزای ایده‌آل جایگزین می‌کنند.<ref>{{Cite journal|last=Belevitch V|author-link=Vitold Belevitch|date=May 1962|title=Summary of the history of circuit theory|journal=Proceedings of the IRE|volume=50|issue=5|pages=849|doi=10.1109/JRPROC.1962.288301}} cites {{Cite journal|date=September 1960|title=IRE Standards on Circuits: Definitions of Terms for Linear Passive Reciprocal Time Invariant Networks, 1960|journal=Proceedings of the IRE|volume=48|issue=9|pages=1609|doi=10.1109/JRPROC.1960.287676}}to justify this definition.{{سخ}}{{سخ}}[[سیدنی دارلینگتون|Sidney Darlington]] {{Cite journal|last=Darlington S|year=1984|title=A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors|journal=IEEE Trans. Circuits and Systems|volume=31|issue=1|pages=4|doi=10.1109/TCS.1984.1085415}}{{سخ}}{{سخ}}follows Belevitch but notes there are now also many colloquial uses of "network".</ref>
|- valign="top"
| '''[[تابع انتقال]]'''
| رابطه جریان و/یا ولتاژ بین دو درگاه. اغلب، یک درگاه ورودی و یک درگاه خروجی شرح‌می‌دهد و تابع انتقال به‌عنوان بهره یا تضعیف توصیف می‌شود.
|- valign="top"
| '''تابع انتقال قطعه'''
| رای یک قطعه دو-پایانه‌ای (یعنی قطعه یک درگاهی)، جریان و ولتاژ به‌عنوان ورودی و خروجی در نظر گرفته می‌شود و تابع انتقال دارای واحدهای امپدانس یا ادمیتانس خواهد بود. (معمولاً یک موضوع دلخواه برای سهولت است که خواه ولتاژ یا جریان ورودی درنظر گرفته می‌شود). یک قطعه سه پایانه‌ای (یا بیشتر) به‌طور مؤثر دارای دو (یا بیشتر) درگاه است و تابع انتقال نمی‌تواند به‌صورت یک امپدانس منفرد بیان شود. روش معمول این است که تابع انتقال را به‌صورت ماتریسی از پارامترها بیان کنیم. این پارامترها می‌توانند امپدانس باشند، اما تعداد زیادی روش دیگر وجود دارد (به [[دوقطبی (مدار الکتریکی)|شبکه دوقطبی]] مراجعه کنید).
|}

== مدارهای معادل ==
[[پرونده:Circuit_equivalence.png|پیوند=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Circuit_equivalence.png/200px-Circuit_equivalence.png|چپ|255x255پیکسل]]
یک روش مفید در تحلیل شبکه، ساده‌کردن شبکه با کاهش تعداد اجزا است. این را می‌توان با جایگزینی قطعات فیزیکی با سایر قطعات فرضی که همان اثر را دارند انجام داد. یک فن خاص ممکن است به‌طور مستقیم تعداد اجزا را کاهش دهد، به‌عنوان مثال ترکیب امپدانس‌ها در سری. از سوی دیگر، ممکن است صرفاً شکل را به شکلی تغییر دهد که در آن اجزاء در عملیات بعدی کاهش یابند. به‌عنوان مثال، ممکن است با استفاده از [[قضیه نورتون]] یک [[منبع ولتاژ]] را به یک [[منبع جریان]] تبدیل کنیم تا بتوانیم مقاومت داخلی منبع را با یک بار امپدانس موازی ترکیب کنیم.

=== امپدانس‌ها به‌صورت سری و موازی ===
برخی شبکه دو پایانه‌ای از امپدانس‌ها را می‌توان درنهایت با کاربردهای پی‌درپی امپدانس‌ها به‌صورت سری یا موازی به یک امپدانس کاهش داد.

امپدانس‌های [[مدارهای سری و موازی|سری]] : <math>Z_\mathrm{eq} = Z_1 + Z_2 + \,\cdots\, + Z_n .</math>

امپدانس‌ها به‌صورت [[مدارهای سری و موازی|موازی]] : <math>\frac{1}{Z_\mathrm{eq}} = \frac{1}{Z_1} +  \frac{1}{Z_2} + \,\cdots\, + \frac{1}{Z_n} .</math>

: موارد فوق فقط برای دو امپدانس به‌صورت موازی ساده شده‌است: <math>Z_\mathrm{eq} = \frac{Z_1Z_2}{Z_1 + Z_2} .</math>

=== [[تبدیل ستاره-مثلث|تبدیل دلتا-وای]] (ستاره-مثلث) ===
[[پرونده:Delta-Star_Transformation.svg|چپ|400x400پیکسل]]
شبکه‌ای از امپدانس‌ها با بیش از دو پایانه را نمی‌توان به یک [[مدار معادل]] امپدانسی کاهش داد. یک شبکه n ترمینال در بهترین حالت می‌تواند به ''n'' امپدانس کاهش یابد (در بدترین حالت <sup>''n''</sup> C <sub>2</sub>). برای یک [[شبکه سه]] پایانه‌ای، سه امپدانس را می‌توان به‌صورت شبکه سه گره دلتا (Δ) یا شبکه چهار گره ستاره (Y) بیان کرد. این دو شبکه معادل هستند و تبدیلات بین آنها در زیر آورده شده‌است.

==== معادلات تبدیل مثلث به ستاره ====
: <math>R_a = \frac{R_\mathrm{ac}R_\mathrm{ab}}{R_\mathrm{ac} + R_\mathrm{ab} + R_\mathrm{bc}} </math>

: <math>R_b = \frac{R_\mathrm{ab}R_\mathrm{bc}}{R_\mathrm{ac} + R_\mathrm{ab} + R_\mathrm{bc}} </math>

: <math>R_c = \frac{R_\mathrm{bc}R_\mathrm{ac}}{R_\mathrm{ac} + R_\mathrm{ab} + R_\mathrm{bc}} </math>

==== معادلات تبدیل ستاره به مثلث ====
: <math>R_\mathrm{ac} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_b}</math>

: <math>R_\mathrm{ab} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c}</math>

: <math>R_\mathrm{bc} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_a}</math>

=== شکلِ کلی حذف گره شبکه ===
تبدیل ستاره به مثلث و مقاومت-سری موارد خاصی از الگوریتم حذف گره شبکه مقاومت عمومی است. هر گره‌ای که توسط <math>N</math> مقاومت (<math>R_1</math> .. <math>R_N</math>) به گره‌های ۱ تا N متصل شود، می‌تواند با <math display="inline">{N \choose 2}</math> مقاومت که <math>N</math> گره باقی مانده را به‌هم متصل می‌کند، جایگزین شود.

گره‌ها مقاومت بین هر دو گره <math>x</math> و <math>y</math> از رابطه زیر بدست می‌آید:

: <math>R_\mathrm{xy} = R_xR_y\sum_{i=1}^N \frac{1}{R_i}</math>

برای ستاره به مثلث (<math>N=3</math>) این به:

: <math>R_\mathrm{ab} = R_aR_b(\frac 1 R_a+\frac 1 R_b+\frac 1 R_c) = \frac{R_aR_b(R_aR_b+R_aR_c+R_bR_c)}{R_aR_bR_c}=\frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c}</math>

برای کاهش سری (<math>N=2</math>) این به:

: <math>R_\mathrm{ab} = R_aR_b(\frac 1 R_a+\frac 1 R_b) = \frac{R_aR_b(R_a+R_b)}{R_aR_b} = R_a+R_b</math>

برای یک مقاومت آویزان (<math>N=1</math>) منجر به حذف مقاومت می‌شود زیرا <math>{1 \choose 2} = 0</math> .

=== [[تبدیل منبع]] ===
[[پرونده:Sourcetransform.svg|بندانگشتی|414x414پیکسل]]
یک منبع با امپدانس داخلی (یعنی منبع غیرایده‌آل) می‌تواند به‌عنوان یک منبع ولتاژ ایده‌آل یا یک منبع جریان ایده‌آل به اضافه امپدانسی نمایش داده شود. این دو شکل معادل هستند و تبدیل‌ها در زیر آورده شده‌است. اگر دو شبکه با توجه به پایانه‌های ab معادل باشند، V و I باید برای هر دو شبکه یکسان باشند. بدین ترتیب،

: <math>V_\mathrm{s} = RI_\mathrm{s}\,\!</math> یا <math>I_\mathrm{s} = \frac{V_\mathrm{s}}{R}</math>
* [[قضیه نورتون]] بیان می‌کند که هر شبکه خطی [[دوقطبی (مدار الکتریکی)|دوقطبی]] را می‌توان به یک منبع جریان ایده‌آل و یک امپدانس موازی تقلیل‌داد.
* [[نظریه تونن|قضیه تونن]] بیان می‌کند که هر شبکه خطی [[دوقطبی (مدار الکتریکی)|دوقطبی]] را می‌توان به یک منبع ولتاژ ایده‌آل به اضافه یک امپدانس سری کاهش‌داد.

== شبکه‌های ساده ==
=== تقسیم ولتاژ اجزای سری ===
n امپدانس را در نظر بگیرید که ''به‌صورت سری'' به هم متصل شده‌اند. ولتاژ <math>V_i</math> دوسَر هر امپدانس <math>Z_i</math> است

: <math>V_i = Z_iI = \left( \frac{Z_i}{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n} \right)V</math>

=== تقسیم جریان اجزای موازی ===
n [[ادمیتانس]] را در نظر بگیرید که به‌صورت ''موازی'' به هم متصل شده‌اند. جریان <math>I_i</math> از طریق هر [[ادمیتانس]] <math>Y_i</math> است

: <math>I_i = Y_iV = \left( \frac{Y_i}{Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n} \right)I</math>

برای <math>i = 1,2,...,n.</math>

==== مورد خاص: تقسیم جریان دو قطعه موازی ====
: <math>I_1 = \left( \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \right)I</math>

: <math>I_2 = \left( \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} \right)I</math>

== [[تحلیل گره]] ==
# تمام گره‌های مدار را برچسب گذاری کنید. به‌طور دلخواه هر گِرهی را به‌عنوان مرجع انتخاب کنید.
# یک متغیر ولتاژ از هر گره باقی مانده به مرجع تعریف کنید. این متغیرهای ولتاژ باید به‌صورت افزایش ولتاژ نسبت به گره مرجع تعریف شوند.
# برای هر گره به جز مرجع یک معادله [[قانون‌های مداری کیرشهف|KCL]] بنویسید.
# دستگاه معادلات حاصل را حل کنید.
== [[تحلیل مش|تحلیل مِش]] ==
[[مش (توری)|مش]] - حلقه‌ای که حاوی حلقه داخلی نیست.

# تعداد «قاب‌های پنجره» را در مدار بشمارید. یک جریان مش به هر قاب پنجره اختصاص دهید.
# برای هر مش که جریان آن ناشناخته است یک معادله [[قانون‌های مداری کیرشهف|KVL]] بنویسید.
# معادلات حاصل را حل کنید.
== [[اصل برهم‌نهی|برهم‌نهی]] (جمع‌آثار) ==
در این روش اثر هر منبع به نوبه خود محاسبه می‌شود. تمام منبع‌های غیر از منبع مورد نظر حذف‌شده، یعنی منبع‌های ولتاژ اتصال‌کوتاه یا در مورد منبع‌های جریان مدار باز می‌شوند. سپس کل جریان عبوری یا ولتاژ کل در یک شاخه خاص بر اثر آن یک منبع که حذف نشده بود محاسبه می‌شود، این کار را برای تک‌تک منابع انجام می‌دهیم و سپس با جمع‌کردن تمام جریان‌ها یا ولتاژها مقدار کمیت خواسته‌شده محاسبه می‌شود.

یک فرض اساسی برای این روش وجود دارد که جریان یا ولتاژ کل برهم‌نهی خطی با قطعات آن است؛ بنابراین، درصورت وجود اجزای غیرخطی، نمی‌توان از روش استفاده کرد.<ref>Wai-Kai Chen, ''Circuit Analysis and Feedback Amplifier Theory'', p. 6-14, CRC Press, 2005 {{شابک|1420037277}}.</ref>

== تابع انتقال ==
یک [[تابع انتقال]]، رابطه بین ورودی و خروجی یک شبکه را بیان می‌کند. برای شبکه‌های مقاومتی، این همیشه یک [[عدد حقیقی]] ساده یا یک عبارت است که به یک عدد حقیقی خلاصه می‌شود. شبکه‌های مقاومتی با [[دستگاه معادلات خطی|دستگاه معادلات جبری]] چندمجهولی نمایش داده می‌شوند. با این حال، در حالت کلی شبکه‌های خطی، شبکه با یک دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی چندمجهولی نشان داده می‌شود. در تجزیه و تحلیل شبکه، به‌جای استفاده مستقیم از معادلات دیفرانسیل، معمول است که ابتدا یک [[تبدیل لاپلاس]] روی آنها انجام شود و سپس نتیجه برحسب پارامتر لاپلاس s بیان شود که به‌طور کلی [[عدد مختلط|مختلط]] است. این به‌عنوان کارکردن در [[تبدیل لاپلاس|حوزه-s]] توصیف می‌شود. کارکردن با معادلات به‌طورمستقیم به‌عنوان کارکردن در [[حوزه زمان]] (یا t) توصیف می‌شود زیرا نتایج به‌صورت کمیت‌های متغیر زمان بیان می‌شوند. تبدیل لاپلاس روش ریاضی تبدیل بین حوزه s و حوزه t است.

این رویکرد در [[نظریه کنترل]] استاندارد است و برای تعیین [[نظریه پایداری|پایداری]] یک سامانه، به‌عنوان مثال، در یک [[تقویت‌کننده الکترونیکی|تقویت‌کننده]] با [[بازخورد]] مفید است.

==== مدار معادل سیگنال کوچک ====
این روش را می‌توان در مواردی استفاده کرد که انحرافش {{به انگلیسی|deviation}} سیگنال‌های ورودی و خروجی در یک شبکه در یک بخش خطی قابل ملاحظه‌ای از تابع انتقال افزاره‌های غیرخطی باقی می‌ماند، یا در غیر این صورت آنقدر کوچک است که منحنی تابع انتقال را می‌توان خطی در نظر گرفت. تحت مجموعه‌ای از این شرایط خاص، افزاره [[رفتار غیرخطی|غیرخطی]] را می‌توان با یک شبکه خطی معادل نشان داد. باید به خاطر داشت که این مدار معادل کاملاً نظری است و فقط برای انحرافات سیگنال کوچک معتبر است. این به‌طور کامل برای [[بایاس دی‌سی]] دستگاه قابل اجرا نیست.

==== روش خطی تکه‌ای ====
در این روش تابع انتقال افزاره غیرخطی به ناحیه‌هایی تقسیم می‌شود. هر یک از این نواحی با یک خط مستقیم تقریب‌زده می‌شود؛ بنابراین، تابع انتقال تا یک نقطه خاص که در آن ناپیوستگی وجود دارد، خطی خواهد بود. پس از این نقطه، تابع انتقال دوباره خطی خواهد بود اما با شیب متفاوت.

== جستارهای وابسته ==
{{div col|colwidth=14em|content=* [[قضیه دوبخشی بارتلت]]
* [[تبدیل امپدانس معادل]]
* [[قانون‌های مداری کیرشهف]]
* [[تحلیل مش]]
* [[قضیه میلمن]]
* [[قانون اهم]]
* [[تقابل (شبکه‌های الکتریکی)]]
* [[مدار مقاومتی]]
* [[مدارهای سری و موازی]]
* [[قضیه تلگان]]
* [[شبکه دوقطبی]]
* [[تبدیل Y-Δ| تبدیل وای-دلتا]]
* [[تحلیل مدار نمادین]]}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{پانویس|25em}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://holbert.faculty.asu.edu/ece201/recipes.html فنون‌های تحلیل مدار] - شامل تجزیه و تحلیل گره/مش، برهم‌نهی، و تبدیل تونین/نورتون
[[رده:طراحی الکترونیک]]
[[رده:مهندسی برق]]