نمایش مبدأ برای تجزیه‌ویژه یک ماتریس

در [[جبر خطی]]، '''تجزیه‌ویژه''' {{به انگلیسی|Eigendecomposition}} که برخی مواقع به آن '''تجزیه طیفی''' نیز گفته می شود، فاکتورگیری یک [[ماتریس]] به شکل کانونی آن است به گونه ای که ماتریس برحسب [[مقدارویژه و بردارویژه|مقادیرویژه و بردارویژه‌]] هایش نمایش داده شود. تنها [[ماتریس قطری‌شدنی|ماتریس‌های قطری‌شدنی]] را می توان به این شکل تجزیه کرد. اگر ماتریس فاکنورگیری شده، نرمال یا [[ماتریس متقارن|متقارن]] باشد، به تجزیه آن تجزیه طیفی می‌گویند که از [[نظریه طیفی]]<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=Spectral Theory|نام=Fabio|نام خانوادگی=Nicola|نام۲=Luigi|نام خانوادگی۲=Rodino}}</ref> بدست می‌آید.

== تجزیه ویژه ماتریس ==
فرض کنید ماتریس A، یک ماتریس <math>n \times n</math> با n بردار ویژه‌ی مستقل خطی باشد. این ماتریس را می‌توان به شکل زیر تجزیه کرد:

<math display="block">A = Q \Lambda Q^{-1}</math>که در آن Q ماتریس <math>n \times n</math> است که i امین ستون آن برابر i امین بردار ویژه ماتریس A است و <math display="inline">\Lambda</math> مارتیسی قطری به طول n است به صورتی که <math>\Lambda_{ii} = \lambda_i</math> که <math>\lambda_i</math> i امین مقدار ویژه ماتریس A است. توجه کنید که فقط ماتریس‌های قطری‌شدنی را می‌توان به این شکل تجزیه کرد.

=== اثبات تجزیه ===
فرض کنید A یک ماتریس <math>n \times n</math>  است. A قطری شدنی است [[اگر و تنها اگر]] بردار‌های ویژه آن [[پایه (جبر خطی)|پایه‌‌ای]] برای A باشند. شرط معادل آن این است که ماتریس A، دارای n بردار ویژه مستقل خطی باشد. در این صورت توان اثبات کرد که:

<math display="block">A q_i = \lambda_i q_i \Rightarrow  A Q = Q \Lambda</math>

در این جا به دلیل این که بردار‌های ویژه مستقل خطی اند، مارتیس Q وارون پذیر است پس می‌توان نوشت:

<math display="block">A Q = Q \Lambda \Rightarrow  A = Q \Lambda Q^{-1}</math>

==== مثال ====
ماتریس <math>2 \times 2</math> زیر را در نظر بگیرید ː

<math display="block">\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}</math>

برای محاسبه حالت تجزیه ویژه اولین قدم حساب کردم مقادیر و بردار های ویژه استː 

<math display="block">\begin{vmatrix} -5-\lambda & -2 \\ 4 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0</math> 

<math display="block">\left(-5-\lambda\right)\left(1-\lambda\right)+8=0 \Rightarrow \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow
\lambda = -1, -3</math> 

با داشتن مقادیر ویژه بردار‌های ویژه را بدست می‌آوریم ː 

<math display="block">\begin{cases}
\begin{bmatrix} -5+1 & -2 \\ 4 & 1+1 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow 
\begin{cases} 
-4a -2b = 0 \\
4a + 2b = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases}
\\
\begin{bmatrix} -5+3 & -2 \\ 4 & 1+3 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = 
\Rightarrow
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{cases} 
-2a -2b = 0 \\
4a + 4b = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \end{cases}
\end{cases}</math>

پس می‌توان ماتریس A را به صورت زیر تجزیه کرد ː

<math display="block">\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}^{-1}</math>

== تجزیه ویژه برای ماتریس‌های خاص ==
هنگامی که ماتریس A ماتریس نرمال یا متقارن است به تجزیه آن ها تجزیه طیفی می‌گویند که از نظریه طیفی بدست می‌آید.

=== ماتریس متقارن ===
در حالت خاص برای هر ماتریس <math>n \times n</math>، می‌توان مقادیر ویژه را به صورتی بدست آورد که دو به دو [[تعامد (جبر خطی)|تعامد]] داشته باشند. در این حالت می‌توان تجزیه ماتریس را به صورت زیر نوشت‌<ref>{{Cite journal|last=Halmos|first=P. R.|date=1963-03-01|title=What Does the Spectral Theorem Say?|url=https://doi.org/10.1080/00029890.1963.11990075|journal=The American Mathematical Monthly|volume=70|issue=3|pages=241–247|doi=10.1080/00029890.1963.11990075|issn=0002-9890}}</ref> ː

<math display="block">\mathbf{A} = Q \Lambda Q^T</math>

که در آن ماتریس بردار ویژه‌ها Q [[ماتریس متعامد|ماتریسی متعامد]] (<math>Q^T = Q^{-1}</math>) و <math>\Lambda</math> مارتیس قطری مقادیر ویژه است.

== جستارهای وابسته ==

* [[تجزیه مقدارهای منفرد]]
{{یادداشت‌ها}}

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* {{cite book|last=Franklin|first=Joel N.|year=1968|title=Matrix Theory|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-41179-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/matrixtheory0000fran}}
* {{citation|first1=Gene H.|last1=Golub|first2=Charles F.|last2=Van Loan|year=1996|isbn=978-0-8018-5414-9|title=Matrix Computations|edition=3rd|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]|location=Baltimore}}
* {{cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|last2=Johnson|first2=Charles R.|year=1985|title=Matrix Analysis|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-38632-6}}
* {{cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|last2=Johnson|first2=Charles R.|year=1991|title=Topics in Matrix Analysis|url=https://archive.org/details/topicsinmatrixan0000horn|url-access=registration|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-46713-1}}
* {{citation|first1=Erwin|last1=Kreyszig|year=1972|isbn=978-0-471-50728-4|title=Advanced Engineering Mathematics|edition=3rd|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|location=New York|url-access=registration|url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey}}
* {{citation|first1=Evar D.|last1=Nering|year=1970|title=Linear Algebra and Matrix Theory|edition=2nd|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|location=New York|lccn=76091646}}
* {{cite book|last=Strang|first=G.|year=1998|title=Introduction to Linear Algebra|edition=3rd|publisher=Wellesley-Cambridge Press|isbn=978-0-9614088-5-5}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/SpectralDecomposition.html Interactive program & tutorial of Spectral Decomposition].
{{پایان چپ‌چین}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:تجزیه‌های ماتریس]]
[[رده:نظریه ماتریس‌ها]]