نمایش مبدأ برای تبدیل هنکل

'''تبدیل هنکل''' {{به انگلیسی|'''Hankel transform'''}} در [[ریاضیات]] یک [[تبدیل انتگرالی]] است که اولین بار توسط [[هرمن هنکل]]، [[ریاضی‌دان]] [[آلمانی‌ها|آلمانی]] مطرح شد. این تبدیل با نام '''تبدیل فوریه-بسل''' نیز شناخته شده‌است.

تبدیل هنکل تبدیلی است که [[تابع]] <math>f(r)</math> را به صورت یک مجموع وزن‌دار از [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] [[تابع بسل|تابع بسل نوع اول]] <math>J_\nu(kr)</math> در نظر می‌گیرد. توابع بسل به‌کار رفته در این مجموع، همگی از مرتبه <math>\nu</math> هستند اما در عامل اندازه <math>k</math> در محور <math>r</math> متفاوت‌اند. [[ضریب]] ضروری <math>F_v</math> برای هر [[تابع بسل]] در عبارت مجموع، که تابعی از عامل اندازه یا همان <math>k</math> است، تابع تبدیل‌شده را تشکیل می‌دهد.

== تعریف ==
تابع هنکل مرتبه <math>\nu</math> برای تابع <math>f(r)</math> به صورت زیر تعریف می‌شود:
{{وسط‌چین}}
<math>F_\nu(k) = \int_0^\infty f(r)J_\nu(kr)\,r\operatorname{d}\!r</math>
{{پایان وسط‌چین}}

که در آن <math>J_\nu</math> [[تابع بسل|تابع بسل نوع اول]] از مرتبه <math>\nu</math> است با شرط <math>\nu \ge -1/2</math>.

=== معکوس ===
معکوس تبدیل هنکل تابع <math>F_\nu(k)</math> نیز به صورت زیر تعریف می‌شود:
{{وسط‌چین}}
<math>f(r) =\int_0^\infty  F_\nu(k)J_\nu(kr) k\operatorname{d}\!k</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== تبدیل هنکل توابع رایج ==
در جدول زیر تبدیل هنکل مرتبه صفر برای تعدادی ار توابع رایج آمده‌است:<ref>{{یادکرد کتاب|نام خانوادگی=Papoulis|نام=Athanasios|عنوان=Systems and Transforms with Applications to Optics|year=1981|ناشر=Krieger Publishing Company|مکان=Florida USA|isbn=0898743583|صفحات=140 - 175|زبان=انگلیسی}}</ref>

{|border="1" class="wikitable" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
!<math>f(r)\,</math>
!<math>F_0(k)\,</math>
|-
||{{چپ‌چین}}<math>1\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\delta(k)/k\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>1/r\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>1/k\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>r\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>-1/k^3\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>r^3\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>9/k^5\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>r^{m}\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,</math>{{پایان چپ‌چین}}{{سخ}}{{راست‌چین}} (قسمت صحیح m باید بین <math>-2</math> و <math>-1/2</math> باشد) {{پایان راست‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,</math><!--- ref Smythe 1968 --->{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{1}{r^2+z^2}\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>K_0(kz)\,</math>{{پایان چپ‌چین}}{{سخ}}{{راست‌چین}} (z می‌تواند هر [[عدد مختلط|عدد مختلطی]] باشد) {{پایان راست‌چین}}
|-
|-
||{{چپ‌چین}}<math>e^{iar}/r\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math> i/\sqrt{ a^2 - k^2} \quad (a>0, k<a) \,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math> \,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math> 1/\sqrt{ k^2 - a^2} \quad (a>0, k>a) \,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>e^{-a^2r^2/2}\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>-r^2 f(r)\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{\operatorname{d}^2\! F_0}{\operatorname{d}\!k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}\!F_0}{\operatorname{d}\!k}</math>{{پایان چپ‌چین}}
|}

در جدول زیر نیز تبدیل هنکل مرتبه <math>\nu</math> برای توابع پرکاربرد آمده است:
{|border="1" class="wikitable" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
!<math>f(r)\,</math>
!<math>F_{\nu}(k)\,</math>
|-
||{{چپ‌چین}}<math>r^s\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{\Gamma\left(\frac 1 2 (2+\nu+s)\right)}{\Gamma(\tfrac 1 2 (\nu-s))} \frac{2^{s+1}}{k^{s+2}} \,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>r^{\nu-2s}\Gamma\left(s,r^2 h\right)\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac12 \left(\frac k 2\right)^{2s-\nu-2}\gamma\left(1-s+\nu,\frac{k^2}{4h}\right)\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>e^{-r^2}r^\nu U\left(a,b,r^2\right)\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{\Gamma(2+\nu-b)}{2\Gamma(2+\nu-b+a)}\left(\frac k 2\right)^\nu e^{-\frac{k^2}4}\,_1F_1\left(a,2+a-b+\nu,\frac{k^2}4\right)</math>{{پایان چپ‌چین}}
|-
||{{چپ‌چین}}<math>-r^2 f(r)\,</math>{{پایان چپ‌چین}}
||{{چپ‌چین}}<math>\frac{\operatorname{d}^2\! F_\nu}{\operatorname{d}\!k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}\!F_\nu}{\operatorname{d}\!k}-\frac{\nu^2}{k^2}F_\nu</math>{{پایان چپ‌چین}}
|}

== جستارهای وابسته ==
* [[تبدیل فوریه]]
* [[فهرست تبدیل‌های مرتبط با تبدیل فوریه]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
{{چپ‌چین}}
* {{cite book |last=Gaskill |first=Jack D. |title=Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics|url=https://archive.org/details/linearsystemsfou0000gask |publisher=John Wiley & Sons|location=New York|year=1978|isbn=0-471-29288-5}}
* {{cite book
|last1=Polyanin
|first1=A. D.
|last2=Manzhirov
|first2=A. V.
|title=Handbook of Integral Equations
|url=https://archive.org/details/handbookofintegr0000poli
|publisher=CRC Press
|location=Boca Raton
|year=۱۹۹۸
|isbn=0-8493-2876-4
}}
* {{cite book |last=Smythe|first=William R.|title=Static and Dynamic Electricity |edition=3rd|publisher=McGraw-Hill|location=New York|year=1968|pages=۱۷۹–۲۲۳}}
* {{cite journal
|last1=Offord
|first1=A. C.
|title=On Hankel transforms
|journal=Proceedings of the London Mathematical Society
|volume=۳۹
|issue=۲
|pages=۴۹&ndash;۶۷
|year=۱۹۳۵
|doi=10.1112/plms/s2-39.1.49
}}
* {{cite journal
|first1=G.
|last1=Eason
|first2=B.
|last2=Noble
|first3=I. N.
|last3=Sneddon
|title=On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel Functions
|journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]
|year=۱۹۵۵
|volume=247
|issue=935
|pages=۵۲۹&ndash;۵۵۱
| jstor = ۹۱۵۶۵}}
* {{cite journal
|first1=J. E.
|last1=Kilpatrick
|first2=Shigetoshi
|last2=Katsura
|first3=Yuji
|last3=Inoue
|title=Calculation of integrals of products of Bessel functions
|journal=Mathematics of Computation
|volume=۲۱
|issue=۹۹
|pages=۴۰۷&ndash;۴۱۲
|year=۱۹۶۷
|doi=10.1090/S0025-5718-67-99149-1
}}
* {{cite journal
|first1=Robert F.
|last1=MacKinnon
|title=The asymptotic expansions of Hankel transforms and related integrals
|journal=Mathematics of Computation
|volume=۲۶
|issue=118
|pages=۵۱۵&ndash;۵۲۷
|year=۱۹۷۲
|doi=10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9
| jstor = ۲۰۰۳۲۴۳}}
* {{cite journal
|last1=Linz
|first1=Peter
|last2=Kropp
|first2=T. E.
|title=A note on the computation of integrals involving products of trigonometric and Bessel functions
|journal=Mathematics of Computation
|volume=۲۷
|issue=124
|pages=۸۷۱&ndash;۸۷۲
|year=۱۹۷۳
| jstor = ۲۰۰۵۵۲۲}}
* {{cite journal
|first=Robert J
|last=Noll
|title=Zernike polynomials and atmospheric turbulence
|journal=Journal of the Optical Society of America
|volume=۶۶
|issue=۳
|year=۱۹۷۶
|pages=۲۰۷&ndash;۲۱۱
|doi=10.1364/JOSA.66.000207
|bibcode=1976JOSA...66..207N
}}
* {{cite journal
|first1=A. E.
|last1=Siegman
|title=Quasi-fast Hankel transform
|journal=Opt. Lett.
|volume=۱
|issue=۱
|pages=۱۳&ndash;۱۵
|bibcode=1977OptL....1...13S
|doi=10.1364/OL.1.000013
|year=۱۹۷۷
}}
* {{cite journal
|first1=Vittorio
|last1=Magni
|first2=Giulio
|last2=Cerullo
|first3=Sandro
|last3=De Silverstri
|title=High-accuracy fast Hankel transform for optical beam propagation
|journal=J. Opt. Soc. Am. A
|volume=۹
|issue=۱۱
|pages=۲۰۳۱&ndash;۲۰۳۳
|year=۱۹۹۲
|doi=10.1364/JOSAA.9.002031
|bibcode = 1992JOSAA...9.2031M}}
* {{cite journal
|first1=A.
|last1=Agnesi
|first2=Giancarlo C.
|last2=Reali
|first3=G.
|last3=Patrini
|first4=A.
|last4=Tomaselli
|title=Numerical evaluation of the Hankel transform: remarks
|journal=Journal of the Optical Society of America A
|volume=۱۰
|issue=۹
|page=۱۸۷۲
|year=۱۹۹۳
|doi=10.1364/JOSAA.10.001872
|bibcode=1993JOSAA..10.1872A
}}
* {{cite journal
|first1=Richard
|last1=Barakat
|title=Numerical evaluation of the zero-order Hankel transform using Filon quadrature philosophy
|journal=Applied Mathematics Letters
|volume=۹
|issue=۵
|pages=۲۱&ndash;۲۶
|mr=1415467
|year=۱۹۹۶
}}
* {{cite journal
|first1=Jos&eacute; A.
|last1=Ferrari
|first2=Daniel
|last2=Perciante
|first3=Alfredo
|last3=Dubra
|title=Fast Hankel transform of nth order
|journal= J. Opt. Soc. Am. A
|volume=۱۶
|issue=۱۰
|pages=۲۵۸۱&ndash;۲۵۸۲
|doi=10.1364/JOSAA.16.002581
|bibcode=1999JOSAA..16.2581F
|year=۱۹۹۹
}}
* {{cite journal
|first1=Jos&eacute; D.
|last1=Secada
|title=Numerical evaluation of the Hankel transform
|journal=Comp. Phys. Comm.
|volume=116
|issue=۲&ndash;۳
|pages=۲۷۸&ndash;۲۹۴
|bibcode=1999CoPhC.116..278S
|year=۱۹۹۹
|doi = 10.1016/S0010-4655(98)00108-8}}
* {{cite journal
|first1=Thomas
|last1=Wieder
|title=Algorithm 794: Numerical Hankel transform by the Fortran program HANKEL
|journal=ACM Trans. Math. Soft.
|volume=۲۵
|issue=۲
|pages=۲۴۰&ndash;۲۵۰
|year=۱۹۹۹
|doi=10.1145/317275.317284
}}
* {{cite journal
|first1=Luc
|last1=Knockaert
|title=Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection
|journal=IEEE Trans. Signal Process.
|volume=۴۸
|issue=۶
|pages=۱۶۹۵&ndash;۱۷۰۱
|year=۲۰۰۰
|url=http://users.ugent.be/~lknockae/pdf/hankelrevi.pdf
}}{{پیوند مرده|date=نوامبر ۲۰۲۲ |bot=InternetArchiveBot }}
* {{cite journal
|first1=D. W.
|last1=Zhang
|first2=X. -C.
|last2=Yuan
|first3=N. Q.
|last3=Ngo
|first4=P.
|last4=Shum
|title=Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields
|journal=Opt. Exp.
|volume=۱۰
|issue=۱۲
|pages=۵۲۱&ndash;۵۲۵
|year=۲۰۰۲
|url=http://www.opticsinfobase.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-10-12-521
}}
* {{cite journal
|first1=Joanne
|last1=Markham
|first2=Jose-Angel
|last2=Conchello
|title=Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions
|journal=J. Opt. Soc. Am. A
|volume=۲۰
|issue=۴
|pages=۶۲۱&ndash;۶۳۰
|year=۲۰۰۳
|doi=10.1364/JOSAA.20.000621
|bibcode = 2003JOSAA..20..621M}}
* {{cite journal
|first1=C&eacute;sar D.
|last1=Perciante
|first2=Jos&eacute; A.
|last2=Ferrari
|title=Fast Hankel transform of nth order with improved performance
|journal=J. Opt. Soc. Am. A
|volume=۲۱
|number=۹
|page=۱۸۱۱
|year=۲۰۰۴
|doi=10.1364/JOSAA.21.001811
|bibcode=2004JOSAA..21.1811P
}}
* {{cite journal
|first1=Manuel
|last1=Gizar-Sicairos
|first2=Julio C.
|last2=Guitierrez-Vega
|title=Computation of quasi-discrete Hankel transform of integer order for propagating optical wave fields
|journal=J. Opt. Soc. Am. A
|volume=۲۱
|issue=۱
|year=۲۰۰۴
|pages=۵۳&ndash;۵۸
|doi=10.1364/JOSAA.21.000053
|bibcode = 2004JOSAA..21...53G}}
* {{cite journal
|first1=Charles
|last1=Cerjan
|title=The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms
|journal=J. Opt. Soc. Am. A
|volume=۲۴
|issue=۶
|doi=10.1364/JOSAA.24.001609
|pages=۱۶۰۹&ndash;۱۶۱۶
|year=۲۰۰۷
|bibcode=2007JOSAA..24.1609C
}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:تبدیل‌های انتگرالی]]