نمایش مبدأ برای تبدیل فوریه

[[پرونده:Fourier transform time and frequency domains (small).gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|تجسم رابطه بین دامنه زمان و دامنه فرکانس یک تابع، بر اساس تبدیل فوریه آن. تبدیل فوریه، یک تابع ورودی f (با رنگ قرمز) را در «دامنه زمانی» می‌گیرد و آن را به یک تابع جدید f-hat (به رنگ آبی) در «دامنه فرکانس» تبدیل می‌کند. به عبارت دیگر، می‌توان تابع اصلی را «دامنه زمانی داده شده» تصور کرد و تبدیل فوریه، تابع «فرکانس داده شده دامنه» است. در این انیمیشن، یک تقریب ساده ۶ جزئی از موج مربع به ۶ موج سینوسی تجزیه می‌شود. این مولفه‌های فرکانسی به شکل قله‌های بسیار واضح در دامنه فرکانس تابع نشان داده می‌شوند، که به شکل نمودار آبی نشان داده شده‌است.این رابطه به صورت انتگرالی یک نوع الگویی است که موج آن نزولی متناهی است. در تصوی فوق رابطه آن اینگونه است که به صورت انتگرال بر اساس رابطه مثلثاتی نوشته گردد<math> \int_a^b{f(x)=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)dx}
</math><math> {\lim_{x,n \to\displaystyle \infty }=+}
</math> پس رابطه انتگرالی به صورت مثبت تعیین میشود.]]
در [[ریاضیات]]، '''تبدیل فوریه''' {{به انگلیسی|Fourier transform|{{IPAc-en|ˈ|f|ʊr|i|eɪ|,_|-|i|ər}}}} یا ('''FT''') یک [[تبدیل انتگرالی|تبدیل ریاضیاتی]] است که [[تابع|توابعی]] را که بر حسب زمان یا فضا هستند، به توابعی بر حسب فرکانس زمانی یا فضایی تجزیه می‌کند، مانند بیان یک [[آکورد]] موسیقی بر حسب حجم‌ها و فرکانس‌های نت‌های تشکیل دهنده آن. اصطلاح ''تبدیل فوریه'' هم به نمایش [[دامنه فرکانس]] و هم به [[عملیات (ریاضی)|''عملیات ریاضی'']] مربوط به آن که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می‌کند گفته می‌شود.

تبدیل فوریه یک تابع از زمان، یک [[آنالیز مختلط|تابع مقدار مختلط]] از فرکانس است، که اندازه آن ([[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]])، فرکانس موجود در تابع اصلی را نشان می‌دهد، و [[آرگومان (آنالیز مختلط)|آرگومان]] آن [[فاز (موج)|اختلاف فاز]] سینوسی پایه در آن فرکانس است. تبدیل فوریه فقط محدود به توابع زمان نیست، اما به [[دامنه (ریاضی)|دامنه]] عملکرد اصلی، معمولاً ''[[دامنه زمان]]'' گفته می‌شود. ''معکوس تبدیل فوریه'' نیز وجود دارد که به صورت ریاضی تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانسی آن تولید می‌کند، که توسط ''[[قضیه عکس فوریه]]'' اثبات شده‌است.

عملیات‌های خطی انجام شده در یک دامنه (زمان یا فرکانس) در دامنه‌های دیگر دارای عملیات‌های متناظر هستند، که گاهی انجام آنها آسان‌تر است. عملیات [[مشتق‌گیری]] در دامنه زمان معادل با ضرب در فرکانس است، در نتیجه تجزیه و تحلیل برخی [[معادله دیفرانسیل|معادلات دیفرانسیلی]] در دامنه فرکانس راحت تر است. همچنین، [[کانولوشن]] در دامنه زمان معادل با ضرب معمولی در دامنه فرکانس است (به [[قضیه کانولوشن]] مراجعه کنید). پس از انجام عملیات مورد نظر، می‌توان نتیجه را به حوزه زمان برگرداند. [[آنالیز هارمونیک]] یک مطالعه سیستماتیک از رابطه بین دامنه‌های فرکانس و زمان است، از جمله انواع توابع یا عملیاتی که در یکی یا دیگری «ساده‌تر» هستند و با بسیاری از زمینه‌های ریاضیات مدرن ارتباط عمیقی دارد.<ref>{{harvnb|Dym|McKean|1985}}</ref>
{{تبدیل فوریه}}

== تعریف ==
'''تبدیل فوریه'''، نامیده شده به اسم [[ریاضیدان|ریاضیدانِ]] [[فرانسه|فرانسوی]] [[ژوزف فوریه]]، یک [[تبدیل انتگرالی]] است که هر تابع <math>f(t) \! </math> را به یک تابع دیگر <math>F(\omega) \! </math> منعکس می‌کند. در این صورت، به <math>F(\omega) \! </math> ''تبدیل فوریهٔ'' تابع <math>f(t) \! </math> می‌گویند. حالت خاص تبدیل فوریه، [[سری فوریه]] نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع <math>f(t) \!</math> متناوب باشد، یعنی: <math> f(t+T)=f(t) \!</math> . چنانچه [[تابع متناوب]] نباشد یا به عبارتی، تناوب آن برابر [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] باشد (<math> T \to \infty \!</math>)، از سری فوریه عبارت زیر به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
<math>
F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt
</math>

<math>
f(t)
= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega
</math>
{{پایان}}
تبدیل فوریه و به همراه آن [[آنالیز فوریه]]، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله [[الکترونیک]] و [[الکترومغناطیس]] (به خصوص در [[مخابرات]])، [[آکوستیک]]، [[فیزیک امواج]] و غیره کاربرد فراوان دارد.

== کاربرد ==
[[پرونده:Fourier transform - time shifted signal.gif|بندانگشتی|299x299پیکسل|انیمیشن تبدیل فوریه یک سیگنال منتقل شونده در زمان را نشان می‌دهد. [در قسمت بالا] سیگنال اصلی (نارنجی)، به‌طور مداوم با زمان جابجا می‌شود (آبی). [در قسمت پایین] نتیجه تبدیل فوریه نشان داده شده‌است. به سرعت بالای چرخش مولفه‌های فرکانس بالا در صفحه مختلط نسبت به مولفه‌های سرعت پایین توجه کنید.]]
تبدیلات فوریه در طیف وسیعی از مسائل حوزه‌های مهندسی و فناوری و همچنین در مخابرات و محاسبات تصویری کاربردهای وسیعی دارند. به‌طور مثال در [[ام‌آرآی]] در [[فیزیک پزشکی]] برای ایجاد تصویر نهایی اطلاعات امواج ساطع شده از هسته‌های [[هیدروژن]] از حوزهٔ فرکانسی (frequency domain) به حوزهٔ فضایی (spatial domain) تبدیل فوریه می‌شوند.

{{وسط‌چین}}
<gallery>
Image:Mona Lisa bw square.jpeg|تصویر تابلوی نقاشی [[مونالیزا]] اثر [[داوینچی]]
Image:Mona Lisa bw square fft.jpeg|همان تصویر به صورت دامنهٔ فرکانسی.
</gallery>
{{پایان}}

همچنین در علم [[دینامیک سازه‌ها]] و [[ارتعاشات مکانیکی]] برای تعیین پاسخ سازه در برابر تحریکات غیر [[هارمونیک]] از تبدیلات فوریه برای تبدیل این تحریکات به اجزای هارمونیک استفاده می‌شود. پس از آن می‌توان اقدام به حل [[معادله دیفرانسیل]] حرکت سازه نمود.

یکی دیگر از کاربردهای آن در تجزیه و تحلیل مدارات مخابراتی و مدارات قدرت است که برای بدست آوردن هارمونیک‌های پدیدآورنده یک شکل موج استفاده می‌شود.<ref>{{harvnb|Khare|Butola|Rajora|2023|pp=13–14}}</ref><ref>{{harvnb|Kaiser|1994|p=29}}</ref><ref>{{harvnb|Rahman|2011|p=11}}</ref>

== تبدیل سریع فوریه ==
{{اصلی|تبدیل سریع فوریه}}
تبدیل سریع فوریه (Fast Fourier transform - FFT) نام الگوریتمی‌ست برای انجام تبدیلات مستقیم و معکوس گسستهٔ فوریه به صورتی سریع و بسیار کارآمد. تعداد زیادی الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع مجزا وجود دارد که شامل محدوده عظیمی از ریاضیات می‌شوند: از محاسبات ساده به وسیله [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] تا [[نظریه اعداد]].

== جدول تبدیل‌های فوریه مهم ==
جداول زیر برخی از تبدیل‌های فوریه نوع بسته را نشان می‌دهد. برای توابع {{math|''g''(''x'')}} , {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} و {{math|''h''(''x'')}} تبدیل فوریه آنها را به ترتیب با {{math|''ĝ''}}، {{math|''f̂''}} و {{math|''ĥ''}} نشان داده می‌شوند. فقط سه نمایش رایج در جدول گنجانده شده‌است. توجه داشته باشید که ورودی ۱۰۵ رابطه ای بین تبدیل فوریه یک تابع و تابع اصلی ایجاد می‌کند، که می‌تواند به عنوان رابطه تبدیل فوریه و عکس آن باشد.

=== روابط تابعی، یک بعدی ===
تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در {{harvtxt|Erdélyi|1954}} یا {{harvtxt|Kammler|2000|loc=ضمیمه}}. یافت.
{| class="wikitable"
!
!تابع
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادی
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ای
!تبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحد
!ملاحظات
|-
|
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \nu x}\, dx \end{align}</math>
|تعریف
|-
|۱۰۱
|<math> a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,</math>
|<math> a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math> a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math> a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,</math>
|خطی بودن
|-
|۱۰۲
|<math> f(x - a)\,</math>
|<math> e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math> e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math> e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\,</math>
|تغییر در دامنه زمان
|-
|۱۰۳
|<math> f(x)e^{iax}\,</math>
|<math> \hat{f} \left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)\,</math>
|<math> \hat{f}(\omega - a)\,</math>
|<math> \hat{f}(\nu - a)\,</math>
|تغییر در دامنه فرکانسی، جفت ۱۰۱
|-
|۱۰۴
|<math> f(a x)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,</math>
|تغییر مقیاس در دامنهٔ زمان. اگر {{math|{{abs|''a''}}}} زیاد باشد، آنگاه {{math|''f''&thinsp;(''ax'')}} به سمت صفر متمرکز می‌شود و {{سخ}}<math> \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>{{سخ}}پهن‌تر و صاف‌تر می‌شود.
|-
|۱۰۵
|<math> \hat{f}(x)\,</math>
|<math> f(-\xi)\,</math>
|<math> f(-\omega)\,</math>
|<math> 2\pi f(-\nu)\,</math>
|دوگان خود تبدیل فوریه. در این‌جا لازم است {{math|''f̂''}} با همان روش ستون تبدیل فوریه محاسبه شود. نتیجهٔ جابه جایی متغیرهای آزاد {{mvar|x}} و {{mvar|ξ}} یا {{mvar|ω}} یا {{mvar|ν}}.
|-
|۱۰۶
|<math> \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,</math>
|<math> (2\pi i\xi)^n \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math> (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math> (i\nu)^n \hat{f}(\nu)\,</math>
|
|-
|۱۰۷
|<math> x^n f(x)\,</math>
|<math> \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,</math>
|<math> i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}</math>
|<math> i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}</math>
|این دوگان ۱۰۶ است
|-
|۱۰۸
|<math> (f * g)(x)\,</math>
|<math> \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math> \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math> \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,</math>
|علامت {{math|''f'' ∗ ''g''}} [[کانولوشن]] توابع {{mvar|f}} و {{mvar|g}} را نشان می‌دهد — به این قاعده [[:en:Convolution_theorem|قضیهٔ کانولوشن]] می‌گویند
|-
|۱۰۹
|<math> f(x) g(x)\,</math>
|<math> \left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\xi)\,</math>
|<math> \frac{1}\sqrt{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\omega)\,</math>
|<math> \frac{1}{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\nu)\,</math>
|این دوگان ۱۰۸ است.
|-
|۱۱۰
|For {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} purely real
|<math> \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>
|Hermitian symmetry. {{math|{{overline|''z''}}}} indicates the [[:en:Complex_conjugate|complex conjugate]].
|-
|۱۱۱
|For {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} purely real and [[:en:Even_function|even]]
| colspan="3" align="center" |{{math|''f̂''&thinsp;(''ξ'')}}, {{math|''f̂''&thinsp;(''ω'')}} and {{math|''f̂''&thinsp;(''ν'')}} are purely real [[:en:Even_function|even functions]].
|
|-
|۱۱۲
|For {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} purely real and [[:en:Odd_function|odd]]
| colspan="3" align="center" |{{math|''f̂''&thinsp;(''ξ'')}}, {{math|''f̂''&thinsp;(''ω'')}} and {{math|''f̂''&thinsp;(''ν'')}} are purely [[:en:Imaginary_number|imaginary]] [[:en:Odd_function|odd functions]].
|
|-
|۱۱۳
|برای {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} موهومی خالص
|<math> \hat{f}(-\xi) = -\overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = -\overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\nu) = -\overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>
|{{math|{{overline|''z''}}}} indicates the [[:en:Complex_conjugate|complex conjugate]].
|-
|۱۱۴
|<math> \overline{f(x)}</math>
|<math> \overline{\hat{f}(-\xi)}</math>
|<math> \overline{\hat{f}(-\omega)}</math>
|<math> \overline{\hat{f}(-\nu)}</math>
|[[:en:Complex_conjugate|Complex conjugation]], generalization of 110 and 113
|-
|۱۱۵
|<math> f(x) \cos (a x)</math>
|<math> \frac{ \hat{f}\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)+\hat{f}(\omega+a)}{2}\,</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\nu-a)+\hat{f}(\nu+a)}{2}</math>
|This follows from rules 101 and 103 using [[:en:Euler's_formula|Euler's formula]]:
<math>\cos(a x) = \frac{e^{i a x} + e^{-i a x}}{2}.</math>
|-
|۱۱۶
|<math> f(x)\sin( ax)</math>
|<math> \frac{\hat{f}\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)-\hat{f}(\omega+a)}{2i}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\nu-a)-\hat{f}(\nu+a)}{2i}</math>
|This follows from 101 and 103 using [[:en:Euler's_formula|Euler's formula]]:
<math>\sin(a x) = \frac{e^{i a x} - e^{-i a x}}{2i}.</math>
|}

=== توابع انتگرال‌گیری شونده مربعی، یک بعدی ===
تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در Campbell & Foster (1948)، Erdélyi (1954)، یا Kammler (2000، قسمت ضمیمه) یافت.
{| class="wikitable"
!
!تابع
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادی
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ای
!تبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحد
!ملاحظات
|-
|
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \nu x}\, dx \end{align}</math>
|
|-
|{{anchor|rect}} ۲۰۱
|<math> \operatorname{rect}(a x) \,</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right)</math>
|The [[:en:Rectangular_function|rectangular pulse]] and the ''normalized'' [[:en:Sinc_function|sinc function]], here defined as {{math|sinc(''x'') {{=}} {{sfrac|sin(π''x'')|π''x''}}}}
|-
|۲۰۲
|<math> \operatorname{sinc}(a x)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right)</math>
|Dual of rule 201. The [[:en:Rectangular_function|rectangular function]] is an ideal [[:en:Low-pass_filter|low-pass filter]], and the [[:en:Sinc_function|sinc function]] is the [[:en:Anticausal_system|non-causal]] impulse response of such a filter. The [[:en:Sinc_function|sinc function]] is defined here as {{math|sinc(''x'') {{=}} {{sfrac|sin(π''x'')|π''x''}}}}
|-
|۲۰۳
|<math> \operatorname{sinc}^2 (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
|The function {{math|tri(''x'')}} is the [[:en:Triangular_function|triangular function]]
|-
|۲۰۴
|<math> \operatorname{tri} (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
|Dual of rule 203.
|-
|۲۰۵
|<math> e^{- a x} u(x) \,</math>
|<math> \frac{1}{a + 2 \pi i \xi}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}</math>
|<math> \frac{1}{a + i \nu}</math>
|The function {{math|''u''(''x'')}} is the [[:en:Heaviside_step_function|Heaviside unit step function]] and {{math|''a''> 0}}.
|-
|۲۰۶
|<math> e^{-\alpha x^2}\,</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}}</math>
|This shows that, for the unitary Fourier transforms, the [[:en:Gaussian_function|Gaussian function]] {{math|''e''<sup>−''αx''<sup>2</sup></sup>}} is its own Fourier transform for some choice of {{mvar|α}}. For this to be integrable we must have {{math|Re(''α'')> ۰}}.
|-
|۲۰۷
|<math> e^{-i\alpha x^2}\,</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{i(\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha} - \frac{\pi}{4})}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{i(\frac{\omega^2}{4 \alpha} - \frac{\pi}{4})}</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{i(\frac{\nu^2}{4 \alpha} - \frac{\pi}{4})}</math>
|This is known as the complex quadratic-phase sinusoid, or the "chirp" function.<ref name="Easton-2010">{{cite book|last1=Jr|first1=Roger L. Easton|title=Fourier Methods in Imaging|date=2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-68983-7|url=https://books.google.com/books?id=wCoDDQAAQBAJ|access-date=26 May 2020|language=en}}</ref>
|-
|۲۰۸
|<math> \operatorname{e}^{-a|x|} \,</math>
|<math> \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} </math>
|<math> \frac{2a}{a^2 + \nu^{2}} </math>
|For {{math|Re(''a'')> 0}}. That is, the Fourier transform of a [[:en:Laplace_distribution|two-sided decaying exponential function]] is a [[:en:Lorentzian_function|Lorentzian function]].
|-
|۲۰۹
|<math> \operatorname{sech}(a x) \,</math>
|<math> \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)</math>
|<math> \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|<math> \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)</math>
|[[:en:Hyperbolic_function|Hyperbolic secant]] is its own Fourier transform
|-
|۲۱۰
|<math> e^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\,</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}(-i)^n}{a} e^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)</math>
|<math> \frac{(-i)^n}{a} e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)</math>
|<math> \frac{(-i)^n \sqrt{2\pi}}{a} e^{-\frac{\nu^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \nu a \right)</math>
|{{math|''H<sub>n</sub>''}} is the {{mvar|n}}th-order [[:en:Hermite_polynomial|Hermite polynomial]]. If {{math|''a'' {{=}} 1}} then the Gauss–Hermite functions are [[:en:Eigenfunction|eigenfunctions]] of the Fourier transform operator. For a derivation, see [[:en:Hermite_polynomials##Hermite_functions_as_eigenfunctions_of_the_Fourier_transform|Hermite polynomial]]. The formula reduces to 206 for {{math|''n'' {{=}} ۰}}.
|}

=== توزیع‌ها، یک بعدی ===
{| class="wikitable"
!
!تابع
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادی
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ای
!تبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحد
!ملاحظات
|-
|
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu)= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \nu x}\, dx \end{align}</math>
|
|-
|۳۰۱
|<math> 1</math>
|<math> \delta(\xi)</math>
|<math> \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)</math>
|<math> 2\pi\delta(\nu)</math>
|The distribution {{math|''δ''(''ξ'')}} denotes the [[:en:Dirac_delta_function|Dirac delta function]].
|-
|۳۰۲
|<math> \delta(x)\,</math>
|<math> 1</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math>
|<math> 1</math>
|Dual of rule 301.
|-
|۳۰۳
|<math> e^{i a x}</math>
|<math> \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|<math> \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>
|<math> 2 \pi\delta(\nu - a)</math>
|This follows from 103 and 301.
|-
|۳۰۴
|<math> \cos (a x)</math>
|<math> \frac{ \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math> \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math>
|<math> \pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right)</math>
|This follows from rules 101 and 303 using [[:en:Euler's_formula|Euler's formula]]:
<math>\cos(a x) = \frac{e^{i a x} + e^{-i a x}}{2}.</math>
|-
|۳۰۵
|<math> \sin( ax)</math>
|<math> \frac{\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>
|<math> \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}</math>
|<math> -i\pi\bigl(\delta(\nu-a)-\delta(\nu+a)\bigr)</math>
|This follows from 101 and 303 using
<math>\sin(a x) = \frac{e^{i a x} - e^{-i a x}}{2i}.</math>
|-
|۳۰۶
|<math> \cos \left( a x^2 \right) </math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|This follows from 101 and 207 using
<math>\cos(a x^2) = \frac{e^{i a x^2} + e^{-i a x^2}}{2}.</math>
|-
|۳۰۷
|<math> \sin \left( a x^2 \right) \,</math>
|<math> - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math> -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|This follows from 101 and 207 using
<math>\sin(a x^2) = \frac{e^{i a x^2} - e^{-i a x^2}}{2i}.</math>
|-
|۳۰۸
|<math> x^n\,</math>
|<math> \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\,</math>
|<math> i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,</math>
|<math> 2\pi i^n\delta^{(n)} (\nu)\,</math>
|Here, {{mvar|n}} is a [[:en:Natural_number|natural number]] and {{math|''δ''{{isup|(''n'')}}(''ξ'')}} is the {{mvar|n}}th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from rules 107 and 301. Combining this rule with 101, we can transform all [[:en:Polynomial|polynomials]].
|-
|
|<math> \delta^{(n)}(x)\,</math>
|<math> (2\pi i\xi)^n\,</math>
|<math> \frac{(i\omega)^n}{\sqrt{2\pi}} \,</math>
|<math> (i\nu)^n\,</math>
|Dual of rule 308. {{math|''δ''{{isup|(''n'')}}(''ξ'')}} is the {{mvar|n}}th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from 106 and 302.
|-
|۳۰۹
|<math> \frac{1}{x}</math>
|<math> -i\pi\sgn(\xi)</math>
|<math> -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math>
|<math> -i\pi\sgn(\nu)</math>
|Here {{math|sgn(''ξ'')}} is the [[:en:Sign_function|sign function]]. Note that {{math|{{sfrac|1|''x''}}}} is not a distribution. It is necessary to use the [[:en:Cauchy_principal_value|Cauchy principal value]] when testing against [[:en:Schwartz_functions|Schwartz functions]]. This rule is useful in studying the [[:en:Hilbert_transform|Hilbert transform]].
|-
|۳۱۰
|<math>\begin{align} &\frac{1}{x^n} \\ &:= \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log |x| \end{align}</math>
|<math> -i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi)</math>
|<math> -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>
|<math> -i\pi \frac{(-i\nu)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu)</math>
|{{math|{{sfrac|1|''x''<sup>''n''</sup>}}}} is the [[:en:Homogeneous_distribution|homogeneous distribution]] defined by the distributional derivative
<math>\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log|x|</math>
|-
|۳۱۱
|<math> |x|^\alpha\,</math>
|<math> -\frac{2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\Gamma(\alpha+1)}{|2\pi\xi|^{\alpha+1}}</math>
|<math> \frac{-2}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\Gamma(\alpha+1)}{|\omega|^{\alpha+1}} </math>
|<math> -\frac{2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\Gamma(\alpha+1)}{|\nu|^{\alpha+1}} </math>|This formula is valid for {{math|0> ''α''> −1}}. For {{math|''α''> 0}} some singular terms arise at the origin that can be found by differentiating 318. If {{math|Re ''α''> −1}}, then {{math|{{abs|''x''}}<sup>''α''</sup>}} is a locally integrable function, and so a tempered distribution. The function {{math|''α'' ↦ {{abs|''x''}}<sup>''α''</sup>}} is a holomorphic function from the right half-plane to the space of tempered distributions. It admits a unique meromorphic extension to a tempered distribution, also denoted {{math|{{abs|''x''}}<sup>''α''</sup>}} for {{math|''α'' ≠ −۲, −4,...}} (See [[homogeneous distribution]].)
|-
|<!--Should we call it 311a ? Doesn't necessarily need a number, because it's a special case. -->
|<math> \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{|\xi|}} </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{|\omega|}}</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{|\nu|}} </math>
|Special case of 311.
|-
|۳۱۲
|<math> \sgn(x)</math>
|<math> \frac{1}{i\pi \xi}</math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{i\omega } </math>
|<math> \frac{2}{i\nu }</math>
|The dual of rule 309. This time the Fourier transforms need to be considered as a [[:en:Cauchy_principal_value|Cauchy principal value]].
|-
|۳۱۳
|<math> u(x)</math>
|<math> \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \xi} + \delta(\xi)\right)</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|<math> \pi\left( \frac{1}{i \pi \nu} + \delta(\nu)\right)</math>
|The function {{math|''u''(''x'')}} is the Heaviside [[:en:Heaviside_step_function|unit step function]]; this follows from rules 101, 301, and 312.
|-
|۳۱۴
|<math> \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (x - n T)</math>
|<math> \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right)</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|<math> \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|This function is known as the [[:en:Dirac_comb|Dirac comb]] function. This result can be derived from 302 and 102, together with the fact that
<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}= 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k)</math>
as distributions.
|-
|۳۱۵
|<math> J_0 (x)</math>
|<math> \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left(  \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>
|<math> \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}}</math>
|The function {{math|''J''<sub>0</sub>(''x'')}} is the zeroth order [[:en:Bessel_function|Bessel function]] of first kind.
|-
|۳۱۶
|<math> J_n (x)</math>
|<math> \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>
|<math> \frac{2(-i)^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} </math>
|This is a generalization of 315. The function {{math|''J<sub>n</sub>''(''x'')}} is the {{mvar|n}}th order [[:en:Bessel_function|Bessel function]] of first kind. The function {{math|''T<sub>n</sub>''(''x'')}} is the [[:en:Chebyshev_polynomials|Chebyshev polynomial of the first kind]].
|-
|۳۱۷
|<math> \log \left| x \right|</math>
|<math> -\frac{1}{2} \frac{1}{\left| \xi \right|} - \gamma \delta \left( \xi \right) </math>
|<math> -\frac{\sqrt\frac{\pi}{2}}{\left| \omega \right|} - \sqrt{2 \pi} \gamma \delta \left( \omega \right) </math>
|<math> -\frac{\pi}{\left| \nu \right|} - 2 \pi \gamma \delta \left( \nu \right) </math>
|{{mvar|γ}} is the [[:en:Euler–Mascheroni_constant|Euler–Mascheroni constant]].
|-
|۳۱۸
|<math> \left( \mp ix \right)^{-\alpha}</math>
|<math> \frac{\left(2\pi\right)^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha-1} </math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\omega\right)\left(\pm\omega\right)^{\alpha-1} </math>
|<math> \frac{2\pi}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\nu\right)\left(\pm\nu\right)^{\alpha-1} </math>
|This formula is valid for {{math|1> ''α''> 0}}. Use differentiation to derive formula for higher exponents. {{mvar|u}} is the Heaviside function.
|}

=== توابع دو بعدی ===
{| class="wikitable"
!
!تابع
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادی
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ای
!تبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحد
!ملاحظات
|-
|۴۰۰
|<math> f(x,y)</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\xi_x, \xi_y) \\ &= \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy \end{align}</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\omega_x,\omega_y) \\ &= \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy  \end{align}</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\nu_x,\nu_y) \\ &= \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dx\,dy  \end{align}</math>
|The variables {{mvar|ξ<sub>x</sub>}}, {{mvar|ξ<sub>y</sub>}}, {{mvar|ω<sub>x</sub>}}, {{mvar|ω<sub>y</sub>}}, {{mvar|ν<sub>x</sub>}}, {{mvar|ν<sub>y</sub>}} are real numbers. The integrals are taken over the entire plane.
|-
|۴۰۱
|<math> e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}</math>
|<math> \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\frac{\xi_x^2}{a^2} + \frac{\xi_y^2}{b^2}\right)}</math>
|<math> \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\omega_x^2}{a^2} + \frac{\omega_y^2}{b^2}\right)}</math>
|<math> \frac{1}{|ab|} e^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\nu_x^2}{a^2} + \frac{\nu_y^2}{b^2}\right)}</math>
|Both functions are Gaussians, which may not have unit volume.
|-
|۴۰۲
|<math> \operatorname{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)</math>
|<math> \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}</math>
|<math> \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>
|<math> \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}</math>
|The function is defined by {{math|circ(''r'') {{=}} 1}} for {{math|۰ ≤ ''r'' ≤ 1}}, and is 0 otherwise. The result is the amplitude distribution of the [[:en:Airy_disk|Airy disk]], and is expressed using {{math|''J''<sub>1</sub>}} (the order-1 [[:en:Bessel_function|Bessel function]] of the first kind).<ref>{{harvnb|Stein|Weiss|1971|loc=Thm. IV.3.3}}.</ref>
|-
|۴۰۳
|<math> \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>
|<math> \frac{2\pi}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}</math>
|This is the [[:en:Hankel_transform|Hankel transform]] of {{math|''r''<sup>−1</sup>}}, a 2-D Fourier "self-transform".<ref name="Easton-2010"/>
|-
|۴۰۴
|<math> \frac{i}{x+i y}</math>
|<math> \frac{1}{\xi_x+i\xi_y}</math>
|<math> \frac{1}{\omega_x+i\omega_y}</math>
|<math> \frac{2\pi}{\nu_x+i\nu_y}</math>
|<!--This formula was used in constructing the ground state wavefunction of two-dimensional <math> p_x+ip_y</math> superconductors<ref>Phys. Rev. B 97 (10), 104501 (2018)</ref>-->
|}

=== فرمول‌هایی برای توابع عمومی n بعدی ===
{| class="wikitable"
!
!تابع
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادی
!تبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ای
!تبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحد
!ملاحظات
|-
|۵۰۰
|<math> f(\mathbf x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\boldsymbol \xi) = \\ &\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x) e^{-2\pi i \mathbf x \cdot \boldsymbol \xi }\, d \mathbf x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\boldsymbol \omega) = \\ &\frac{1}{{(2 \pi)}^\frac{n}{2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf x) e^{-i \boldsymbol \omega \cdot \mathbf x}\, d \mathbf x \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\boldsymbol \nu) = \\ &\int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x) e^{-i \mathbf x \cdot \boldsymbol \nu }\, d \mathbf x \end{align}</math>
|
|-
|۵۰۱
|<math> \chi_{[0,1]}(|\mathbf x|)\left(1-|\mathbf x|^2\right)^\delta</math>
|<math> \frac{\Gamma(\delta+1)}{\pi^\delta\,|\boldsymbol \xi|^{\frac{n}{2} + \delta}}  J_{\frac{n}{2}+\delta}(2\pi|\boldsymbol \xi|)</math>
|<math> 2^\delta \, \frac{\Gamma(\delta+1)}{\left|\boldsymbol \omega\right|^{\frac{n}{2}+\delta}}  J_{\frac{n}{2}+\delta}(|\boldsymbol \omega|)</math>
|<math> \frac{\Gamma(\delta+1)}{\pi^\delta} \left|\frac{\boldsymbol \nu}{2\pi}\right|^{-\frac{n}{2}-\delta} J_{\frac{n}{2}+\delta}(\!|\boldsymbol \nu|\!)</math>
|The function {{math|''χ''<sub>[0, 1]</sub>}} is the [[:en:Indicator_function|indicator function]] of the interval {{math|[0, 1]}}. The function {{math|Γ(''x'')}} is the gamma function. The function {{math|''J''<sub>{{sfrac|''n''|2}} + ''δ''</sub>}} is a Bessel function of the first kind, with order {{math|{{sfrac|''n''|2}} + ''δ''}}. Taking {{math|''n'' {{=}} 2}} and {{math|''δ'' {{=}} 0}} produces 402.<ref>{{harvnb|Stein|Weiss|1971|loc=Thm. 4.15}}.</ref>
|-
|۵۰۲
|<math> |\mathbf x|^{-\alpha}, \quad 0 < \operatorname{Re} \alpha < n.</math>
|<math> \frac{(2\pi)^{\alpha}}{c_{n, \alpha}} |\boldsymbol \xi|^{-(n - \alpha)}</math>
|<math> \frac{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}{c_{n, \alpha}} |\boldsymbol \omega|^{-(n - \alpha)}</math>
|<math> \frac{(2\pi)^{n}}{c_{n, \alpha}} |\boldsymbol \nu|^{-(n - \alpha)}</math>
|See [[:en:Riesz_potential|Riesz potential]] where the constant is given by
<math>c_{n, \alpha} = \pi^\frac{n}{2} 2^\alpha \frac{\Gamma\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n - \alpha}{2}\right)}.</math>
The formula also holds for all {{math|''α'' ≠ −''n'', −''n'' − 1, ...}} by analytic continuation, but then the function and its Fourier transforms need to be understood as suitably regularized tempered distributions. See [[:en:Homogeneous_distribution|homogeneous distribution]].<ref group="remark">In {{harvnb|Gelfand|Shilov|1964|p=363}}, with the non-unitary conventions of this table, the transform of <math>|\mathbf x|^\lambda</math> is given to be

<math>2^{\lambda+n}\pi^{\tfrac12 n}\frac{\Gamma\left(\frac{\lambda+n}{2}\right)}{\Gamma\left(-\frac{\lambda}{2}\right)}|\boldsymbol\nu|^{-\lambda-n}</math>

from which this follows, with <math>\lambda=-\alpha</math>.</ref>
|-
|۵۰۳
|<math> \frac{1}{\left|\boldsymbol \sigma\right|\left(2\pi\right)^\frac{n}{2}} e^{-\frac{1}{2} \mathbf x^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-1} \mathbf x}</math>
|<math> e^{-2\pi^2 \boldsymbol \xi^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} \boldsymbol \xi} </math>
|<math> (2\pi)^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{1}{2} \boldsymbol \omega^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} \boldsymbol \omega} </math>
|<math> e^{-\frac{1}{2} \boldsymbol \nu^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} \boldsymbol \nu} </math>
|This is the formula for a [[:en:Multivariate_normal_distribution|multivariate normal distribution]] normalized to 1 with a mean of 0. Bold variables are vectors or matrices. Following the notation of the aforementioned page, {{math|'''Σ''' {{=}} '''σ''' '''σ'''<sup>T</sup>}} and {{math|'''Σ'''<sup>−1</sup> {{=}} '''σ'''<sup>−T</sup> '''σ'''<sup>−1</sup>}}
|-
|۵۰۴
|<math> e^{-2\pi\alpha|\mathbf x|}</math>
|<math>\frac{c_n\alpha}{\left(\alpha^2+|\boldsymbol{\xi}|^2\right)^\frac{n+1}{2}}</math>
|<math>\frac{c_n (2\pi)^{\frac{n+2}{2}} \alpha}{\left(4\pi^2\alpha^2+|\boldsymbol{\omega}|^2\right)^\frac{n+1}{2}}</math>
|<math>\frac{c_n (2\pi)^{n+1} \alpha}{\left(4\pi^2\alpha^2+|\boldsymbol{\nu}|^2\right)^\frac{n+1}{2}}</math>
|Here<ref>{{harvnb|Stein|Weiss|1971|p=6}}.</ref><math>c_n=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\pi^\frac{n+1}{2}},</math> {{math|Re(''α'')> ۰}}
|}

== جستارهای وابسته ==
{{div col|colwidth=22em}}
*[[پردازش سیگنال پیوسته]]
*[[تبدیل فوریه گسسته]]
*[[تبدیل فوریه سریع]]
*[[سری فوریه]]
*[[تبدیل‌های سینوسی و کسینوسی]]
*[[تبدیل فوریه کسری]]
*[[تبدیل انتگرالی]]
*[[تبدیل هنکل]]
*[[تبدیل هارتلی]]
*[[تبدیل لاپلاس]]
*[[تبدیل ملین]]{{math|''m'' {{=}} 2}}.
*[[تبدیل فوریه کوانتومی]]
*[[تبدیل فوریه زمان کوتاه]]
*[[چگالی طیفی]]
*[[تخمین طیفی]]
*[[تبدیل (تابع)]]
{{div col end}}

== یادداشت‌ها==
{{reflist|group="remark"}}

== پانویس ==
{{پانویس|۲}}

== منابع ==

*{{citation
 | last = Howe
 | first = Roger
 | title= On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | volume = 3
 | pages = 821–844
 | number = 2
 | year = 1980
 | doi = 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9
 | mr = 578375
 | doi-access = free
 }}.
*{{citation
 | last1 = Stein
 | first1 = Elias
 | author1-link = Elias Stein
 | last2 = Weiss
 | first2 = Guido
 | author2-link = Guido Weiss
 | title = Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
 | publisher = [[Princeton University Press]]
 | location = Princeton, N.J.
 | year = 1971
 | isbn = 978-0-691-08078-9
 | url = https://books.google.com/books?id=YUCV678MNAIC&q=editions:xbArf-TFDSEC
}}.

==پیوند به بیرون==
* [https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/baug/ibk/structural-mechanics-dam/education/identmeth/fourier.pdf جدول تبدیل فوریه]

{{روش‌های فشرده‌سازی}}
{{نظریه کنترل}}

[[رده:تبدیلات فوریه]]
[[رده:تبدیل‌های انتگرالی]]
[[رده:آنالیز فوریه]]
[[رده:ژوزف فوریه]]
[[رده:عمل‌گرهای یکانی]]
[[رده:مفاهیم فیزیکی]]
[[رده:ریاضی فیزیک]]