نمایش مبدأ برای تانسور انحنای ریمان

{{نسبیت عام}}
در شاخه [[هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیلِ]] [[ریاضیات]]، '''تانسور انحنای ریمان''' (Riemann curvature tensor) یا '''تانسور ریمان-کریستوفل''' (Riemann–Christoffel tensor) (براساس نام‌های [[برنهارت ریمان]] و [[الوین برونو کریستوفل]])، رایج‌ترین روشی است که برای بیان انحنای [[منیفلد ریمانی|منیفلدهای ریمانی]] مورد استفاده واقع می‌شود. در این روش [[تانسور|تانسوری]] به هر نقطه از یک منیفلد ریمانی اختصاص داده می‌شود (یعنی [[میدان تانسوری]] است). این میدان تانسوری ناوردایی از متریک ریمانی است که شکست [[مشتق هموردا|مشتق هموردای]] دوم در جابجا شدن را می‌سنجد. یک منیفلد ریمانی دارای انحنای صفر است [[اگر و تنها اگر]] ''تخت'' باشد، یعنی به‌طور موضعی با [[فضای اقلیدسی]] [[ایزومتری|ایزومتر]] باشد.{{sfn|Lee|2018|p=۱۹۳}} همچنین تانسور انحنا را می‌توان برای هر [[منیفلد شبه-ریمانی]] یا حتی برای هر منیفلد مجهز با [[التصاق آفین]] تعریف گردد.

این تانسور ابزاری مرکزی در [[نظریه نسبیت عام]] است. در این نظریه (نسبیت عام) که نظریهٔ مدرن [[گرانش]] است، انحنای [[فضازمان]] اصولاً از طریق معادله انحراف [[ژئودزیک]] قابل رؤِیت است. تانسور انحنا نمایانگر [[نیروی کشندی]] است که توسط [[جسم صلب|جسم صلبی]] که بر روی ژئودزیک حرکت می‌کند تجربه گشته و توسط معادلات ژاکوبی به صورت دقیق بیان می‌گردد.

== تعریف ==
فرض کنید <math>(M, g)</math> یک [[منیفلد ریمانی]] یا [[منیفلد شبه-ریمانی|شبه-ریمانی]] دلخواه بوده و <math>\mathfrak{X}(M)</math> فضای تمام [[میدان برداری|میدان‌های برداری]] روی <math>M</math> باشد. در این مقاله «تانسور انحنای ریمانی» را به صورت نگاشت <math>R\colon\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M)</math> تعریف می‌کنیم که توسط فرمول زیر{{sfn|Lee|2018|p=۱۹۶}} تعریف شده‌اند که در آن‌ها <math>\nabla</math> یک [[التصاق آفینی]] است:
{{وسط‌چین}}
<math>R(X, Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z</math>
{{پایان وسط‌چین}}
یا به‌طور معادل:
{{وسط‌چین}}
<math>R(X, Y) = [\nabla_X,\nabla_Y] - \nabla_{[X, Y]} </math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در آن <math>[X, Y]</math> [[کروشه لی]] از میدان‌های برداری بوده و <math>[\nabla_X,\nabla_Y]</math> جابجاگر عملگرهای دیفرانسیلی است. برای هر جفت از بردارهای مماس <math>u, v</math>،{{رچ}} <math>R(u, v)</math> تبدیلی خطی از فضای مماس آن منیفلد است. <math>R(u, v)</math> برحسب <math>u</math> و <math>u</math> خطی بوده و لذا یک تنسور را تعریف می‌کند. گاهی این تنسور انحنا با علامت‌های متضادی تعریف می‌گردد.

اگر <math>X = \partial/\partial x^i</math> و <math>Y = \partial/\partial x^j</math> میدان‌های برداری باشند، آنگاه <math>[X, Y] = 0</math> بوده و لذا فرمول به صورت زیر ساده‌سازی می‌گردد:
{{وسط‌چین}}
<math>R(X, Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z .</math>
{{پایان وسط‌چین}}
این تانسور انحنا «میزان ناجابجا بودن مشتق هموردا» را سنجیده و لذا مانع انتگرال‌پذیری برای وجود یک ایزومتری با ساختار فضای اقلیدسی است (در این بستر به آن فضای ''تخت'' گفته می‌شود). به تبدیل خطی <math>w \mapsto R(u, v)w</math> نیز '''تبدیل انحنا''' (curvature transformation) یا '''اندومورفیسم''' (یا '''درونریختی''') گفته می‌شود.

همچنین فرمول انحنا را می‌توان برحسب مشتق هموردای دوم به این صورت تعریف کرد:<ref name="lawson">{{cite book |last1=Lawson |first1=H. Blaine, Jr. |last2=Michelsohn |first2=Marie-Louise |author2-link=Marie-Louise Michelsohn |title=Spin Geometry |url=https://archive.org/details/spingeometry00laws |url-access=limited |year=1989 |page=[https://archive.org/details/spingeometry00laws/page/n166 154] |publisher=Princeton U Press |isbn=978-0-691-08542-5}}</ref>
{{وسط‌چین}}
<math>\nabla^2_{u,v} w = \nabla_u\nabla_v w - \nabla_{\nabla_u v} w </math>
{{پایان وسط‌چین}}
که برحسب <math>u</math> و <math>v</math> خطی است. سپس:
{{وسط‌چین}}
<math>R(u, v) = \nabla^2_{u,v} - \nabla^2_{v,u} </math>
{{پایان وسط‌چین}}
ازینرو در حالت کلی که از بردارهای غیر-مختصاتی <math>u</math> و <math>v</math> استفاده شود، تانسور انحنا میزان ناجابجایی بودن مشتق هموردای دوم را می‌سنجد.

== تقارن‌ها و اتحادها ==
تانسور انحنای ریمان دارای تقارن‌ها و اتحادهای زیر است:
{|
!تقارن اریب
| style="text-align: left;" |<math>R(u, v) = -R(v, u)</math>
| style="text-align: left;" |<math>R_{abcd} = -R_{abdc} \Leftrightarrow R_{ab(cd)}=0</math>
|-
!تقارن اریب
| style="text-align: left;" |<math>\langle R(u, v)w, z \rangle = -\langle R(u, v)z, w \rangle</math>
| style="text-align: left;" |<math>R_{abcd} = -R_{bacd} \Leftrightarrow R_{(ab)cd}=0</math>
|-
!اولین اتحاد بیانکی (جبری)
| style="text-align: left;" |<math>R(u, v)w + R(v, w)u + R(w, u)v = 0</math>
| style="text-align: left;" |<math>R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc} = 0 \Leftrightarrow R_{a[bcd]}=0</math>
|-
!تقارن تبادلی
| style="text-align: left;" |<math>\langle R(u, v)w, z \rangle = \langle R(w, z)u, v \rangle</math>
| style="text-align: left;" |<math>R_{abcd} = R_{cdab}</math>
|-
!دومین اتحاد بیانکی (دیفرانسیلی)
| style="text-align: left;" |<math>\left(\nabla_uR\right)(v, w) + \left(\nabla_vR\right)(w, u) + \left(\nabla_w R\right)(u, v) = 0</math>
| style="text-align: left;" |<math>R_{abcd;e} + R_{abde;c} + R_{abec;d} = 0 \Leftrightarrow R_{ab[cd;e]} = 0</math>
|}

== جستارهای وابسته ==
* [[انحنای ریچی]]

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
{{آغاز منابع}}
* {{cite book|author-last=Lee|author-first=John M.|author-link=جان ام. لی|title=Introduction to Riemannian Manifolds|date=2018|publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer-Verlag]]|isbn=978-3-319-91754-2}}
* {{Citation|first=A.L.|last=Besse|title=Einstein Manifolds|publisher=Springer|year=1987|isbn=0-387-15279-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/einsteinmanifold0000bess}}
* {{Citation|first1=S.|last1=Kobayashi|first2=K.|last2=Nomizu|title=Foundations of Differential Geometry | volume=1 |publisher=Interscience|year=1963}}
* {{Citation| first1=Charles W. | last1=Misner | author-link1=چارلز دبلیو. میسنر | first2=Kip S. | last2=Thorne | author-link2=کیپ اس. تورن | first3=John A. | last3=Wheeler | author-link3=جان آرکیبالد ویلر | title=Gravitation | publisher= W. H. Freeman | year=1973 | isbn=978-0-7167-0344-0| title-link=گرانش (کتاب)}}
{{پایان منابع}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{انحنا}}
{{نظریه‌های گرانش}}
{{تنسورها}}
{{برنهارت ریمان}}

[[رده:انحنا]]
[[رده:برنهارت ریمان]]
[[رده:تنسورها در نسبیت عام]]
[[رده:منیفلدهای ریمانی]]
[[رده:هندسه دیفرانسیل]]
[[رده:هندسه ریمانی]]