نمایش مبدأ برای تابع نمایی

[[پرونده:exp.svg|بندانگشتی|200px|چپ|تابع نمائی <math>y = e^x</math>]]
{{جعبه عدد e}}
'''تابع نِمایی'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=تابعِ نمایی|بیگانه=exponential function|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=پنجم|بخش=فارسی|سرواژه=تابعِ نمایی}}</ref> یا نموی {{به انگلیسی|Exponential function}}، [[تابع]]ی مهم در [[ریاضیات]] است و معمولاً به‌صورت {{چر}}<math>\exp(x)</math>{{چر}} یا <math>e^x</math> نوشته می‌شود که <math>e</math> [[عدد اویلر]] (ثابت [[نپر]]) با مقدار تقریبیِ ''۲/۷۱۸۲۸۱۸۲۸'' است.

در واقع، تابع لگاریتم، عکس تابع نمایی است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت <math>a^x</math> نیز تعریف کرد. استفاده از [[لگاریتم]] نشان می‌دهد که:
: <math>\,\!\, a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x \ln a}</math>

این تابع را '''تابع نمایی با پایهٔ''' <math>a</math> می‌خوانیم که <math>a</math> عددی ثابت است.

در بسیاری از [[علوم]]، وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع <math>ka^x</math> است.

عموماً متغیر <math>x</math> می‌تواند هر [[عدد حقیقی]] یا [[عدد مختلط|مختلط]] باشد. به عبارت دیگر، معکوس <math>\ln(y)=x</math> را <math>\exp(x)=e^x=y</math> گویند.

== قرینۀ تابع نمایی ==
تابع <math>a^{-x}</math> قرینه تابع <math>a^x</math> می‌باشد.

<math>y=a^{-x}=(\frac{1}{a})^x</math>

'''نکته:''' این دو تابع نسبت به محور <math>y</math>ها قرینۀ یکدیگر هستند.

تابع <math>-a^{x}</math> قرینه تابع <math>a^x</math> می‌باشد.

'''نکته:''' این دو تابع نسبت به محور <math>x</math>ها قرینۀ یکدیگر هستند.

== ویژگی‌ها ==
* تابع نمایی، معکوسِ تابع [[لگاریتم طبیعی]] <math>y = \ln (x)</math> است.
* [[دامنه (ریاضی)|دامنۀ]] آن تمام [[اعداد حقیقی]] است.
* [[برد (ریاضی)|برد]] آن تمام اعداد مثبت است.
* [[مشتق (ریاضی)|مشتق]] آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و [[تابع پیوسته|تابعی پیوسته]] و صعودی از <math>x</math> است.

[[نمودار تابع]] نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:
* وقتی <math>a</math> کوچک‌تر از 1 است، با افزایش <math>x</math>، مقدار <math>y</math> کاهش می‌یابد.
* وقتی <math>a</math> بزرگ‌تر از 1 است، با افزایش <math>x</math>، مقدار <math>y</math> افزایش می‌یابد.

== کاربرد ==
توابع نمایی در زمینه‌هایی چون [[علم اقتصاد|اقتصاد]] و [[زیست شناسی|زیست‌شناسی]] کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

== کسر مسلسل تابع <math>e^x</math> ==
برای تابع <math>e^x</math> می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

<math>
  e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}}
</math>

== مثال ==
یک هنرمند، درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوبِ شاخه‌مانند ساخته است. بدین‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی، شاخه‌های دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به‌صورت زیر است:
{|
| align="center" style="background:#f0f0f0;"|'''توانِ ۲'''
| align="center" style="background:#f0f0f0;"|'''تعداد شاخه‌ها'''
| align="center" style="background:#f0f0f0;"|'''سطح'''
|-
| <math>2^0</math>||<math>1</math>||اصلی
|-
| <math>2^1</math>||<math>2</math>||اوّل
|-
| <math>2^2</math>||<math>2 \times 2 = 4</math>||دوم
|-
| <math>2^3</math>||<math>2 \times 2 \times 2 = 8</math>||سوم
|-
| <math>2^4</math>||<math>2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16</math>||چهارم
|-
| <math>2^5</math>||<math>2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32</math>||پنجم
|-
| <math>2^6</math>||<math display="inline">2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64</math>||ششم
|-
| <math>2^7</math>||<math display="inline">2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128</math>||هفتم
|-
| <math>2^8</math>||<math display="inline">2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256</math>||هشتم
|-
|}
رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با: <math>2^8 = 256</math>

== نگارخانه ==
<gallery>
Image:ExponentialRe.png|<!-- ''z'' = Re(''e''<sup>''x''+''iy''</sup>)-->
Image:ExponentialIm.png|<!-- ''z'' = Im(''e''<sup>''x''+''iy''</sup>)-->
Image:ExponentialAbs.png|<!-- ''z'' =|''e''<sup>''x''+''iy''</sup>|-->
</gallery>

== جستارهای وابسته ==
* [[رئوس مطالب توابع نمایی]]
* [[رشد نمایی]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی|عنوان=Exponential function|پیوند=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Exponential_function&oldid=218382915|زبان=انگلیسی|بازیابی=۱۴ ژوئن ۲۰۰۸}}

== پیوند به بیرون ==
* [https://web.archive.org/web/20150602135329/http://bmath.blogfa.com/post-124.aspx مثال‌های عملی از تابع نمایی]

{{ویکی‌انبار-رده|Exponential functions}}
{{توابع ریاضی}}
{{موضوعات حسابان}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:ای (ثابت ریاضی)]]
[[رده:تابع تحلیلی]]
[[رده:توابع ریاضی]]
[[رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص]]
[[رده:توابع خاص]]
[[رده:نمایی‌ها]]