نمایش مبدأ برای تابع محدب

{{Short description|تابعی حقیقی که خط سکانت بین نقاطش، بالای خود نمودار قرار می گیرد}}
[[پرونده:ConvexFunction.svg|بندانگشتی|300px|تابع محدب روی یک بازه.]]
[[پرونده:Epigraph convex.svg|بندانگشتی|300px|تابعی (به رنگ سیاه) محدب است اگر و تنها اگر ناحیه بالای [[نمودار تابع|نمودار]] آن (به رنگ سبز) [[مجموعه محدب|مجموعه محدبی]] باشد.]] 
[[پرونده:Grafico 3d x2+xy+y2.png|300px|بندانگشتی|نموداری از تابع محدب [[چندجمله‌ای]] <math>x^2+xy+y^2</math>.]]

در [[ریاضیات]]، '''تابع کوژ'''<ref>{{یادکرد وب|url=http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary/|title=از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار|accessdate=۱۹ دسامبر ۲۰۱۴|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140218092349/http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary|archivedate=۱۸ فوریه ۲۰۱۴|dead-url=yes}}</ref><ref>{{یادکرد وب|نشانی=http://www.persianacademy.ir/fa/word/|عنوان=فرهنگستان زبان و ادب فارسی|ناشر=www.persianacademy.ir|بازبینی=2016-10-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141204150536/http://persianacademy.ir/fa/word/|archivedate=۴ دسامبر ۲۰۱۴|dead-url=yes}}</ref> {{انگلیسی|Convex Function}} (یا تابع محدب)، [[تابع حقیقی|تابع حقیقی-مقداری]] است که روی [[بازه|بازه ''n''-بعدی]] تعریف شده و [[پاره‌خط|پاره خط]] بین هر دو نقطه از [[نمودار تابع|نمودار]] آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع کوژ است اگر [[اپی گراف|اپی‌گراف]] (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن [[مجموعه محدب|مجموعه‌ای کوژ]] باشد. تابع تک متغیره، دوبار [[تابع دیفرانسیل‌پذیر|دیفرانسیل‌پذیر]] است اگر و تنها اگر [[مشتق]] دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد.<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf |title=Lecture Notes 2|website=www.stat.cmu.edu|access-date=3 March 2017}}</ref> مثال‌های شناخته شده از توابع کوژ تک-متغیره شامل [[تابع مربعی]] <math>x^2</math> و [[تابع نمایی]] <math>e^x</math> می باشد. به بیان ساده، تابع کوژ، تابعی است که به شکل <math>\cup</math> (cup) و [[تابع مقعر]] به شکل <math>\cap</math> (cap) است.

توابع کوژ نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به‌خصوص در مطالعه مسائل [[بهینه‌سازی]] که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً کوژ روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض‌های مناسب اضافی، توابع کوژ هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین [[تابعی (ریاضیات)|تابعی‌ها]] در [[حساب تغییرات]] اند. در [[نظریه احتمالات]]، وقتی توابع کوژ را بر روی [[امید ریاضی]] یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع کوژ آن [[متغیر تصادفی]] محدود می شود، یعنی [[کران‌های بالا و پایین|کران بالای]] آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: <math>\operatorname{E}(f(X)) \geq f(\operatorname{E}(X))</math>. به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، [[نابرابری ینسن|نامساوی جنسن]] (یا ینسن) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری‌هایی چون [[نابرابری میانگین حسابی-هندسی]] و نابرابری هولدر نیز به کار برد.

== تعریف ==
فرض کنیم <math>-\infty\le a<b\le+\infty</math>، تابع <math>f:(a,b)\to \mathbb R</math> را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد <math>x_1,x_2\in(a,b)</math> و هر <math>t</math> که <math>0\le t\le1</math>، داشته باشیم:

{{چپ‌چین}}<math>\forall x_1, x_2 \in X, \forall t \in [0, 1]: \qquad f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>{{پایان چپ‌چین}}

اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه <math>f</math> را اکیداً کوژ می‌نامیم.
{{چپ‌چین}}<math>\forall x_1 \neq x_2 \in X, \forall t \in (0, 1): \qquad f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>{{پایان چپ‌چین}}

== خاصیت‌ها ==
{{چپ‌چین}}<math> R(x_1,x_2) = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}</math>{{پایان چپ‌چین}}
{{چپ‌چین}}<math> \forall x_1, x_2 \in C: \qquad f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \le  \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.</math>{{پایان چپ‌چین}}<ref>{{cite book|last=Donoghue|first=William F.|title=Distributions and Fourier Transforms|year=1969|publisher=Academic Press | isbn=9780122206504 |url=https://books.google.com/books?id=P30Y7daiGvQC&pg=PA12|accessdate=August 29, 2012|page=12}}</ref>

{{چپ‌چین}}<math>f(x) \geq f(y) + f'(y)(x-y)</math>{{پایان چپ‌چین}}<ref name="boyd">{{cite book|title=Convex Optimization|first1=Stephen P.|last1=Boyd|first2=Lieven| last2=Vandenberghe |year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3|url=http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|format=pdf | accessdate=October 15, 2011}}</ref>

{{چپ‌چین}}<math>f(tx) = f(tx+(1-t)\cdot 0) \le t f(x)+(1-t)f(0) \le t f(x), \quad \forall t \in[0,1].</math>{{پایان چپ‌چین}}
{{چپ‌چین}}<math>f(a) + f(b) = f \left((a+b) \frac{a}{a+b} \right) + f \left((a+b) \frac{b}{a+b} \right) \le \frac{a}{a+b} f(a+b) + \frac{b}{a+b} f(a+b) = f(a+b)</math>{{پایان چپ‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
* [[مجموعه محدب|مجموعه کوژ]]
* [[بهینه‌سازی محدب]]
* [[تابع کاو]]

== ارجاعات ==
{{پانویس}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book
  | last = Bertsekas
  | first = Dimitri
  | author-link= Dimitri Bertsekas
  | title = Convex Analysis and Optimization
  | publisher = Athena Scientific
  | year = 2003
}}
* [[Jonathan M. Borwein|Borwein, Jonathan]], and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
* {{cite book
  | last = Donoghue
  | first = William F.
  | title = Distributions and Fourier Transforms
  | url = https://archive.org/details/distributionsfou0000dono
  | publisher = Academic Press
  | year = 1969
}}
* Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and [[Claude Lemaréchal|Lemaréchal, Claude]]. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
*{{cite book | author =[[Mark Krasnosel'skii|Krasnosel'skii M.A.]], Rutickii Ya.B. | title=Convex Functions and Orlicz Spaces | publisher= P.Noordhoff Ltd | location=Groningen |  year=1961}}
* {{cite book
  | last = Lauritzen
  | first = Niels
  | title = Undergraduate Convexity
  | publisher = World Scientific Publishing
  | year = 2013
}}
* {{cite book
  | last = Luenberger
  | first = David
  | author-link = David Luenberger 
  | title = Linear and Nonlinear Programming
  | publisher = Addison-Wesley
  | year = 1984
}}
* {{cite book
  | last = Luenberger
  | first = David
  | author-link = David Luenberger 
  | title = Optimization by Vector Space Methods
  | publisher = Wiley & Sons
  | year = 1969
}}
<!-- * {{cite web
  | last = Moon
  | first = Todd
  | title = Tutorial: Convexity and Jensen's inequality
  | url=http://www.neng.usu.edu/classes/ece/7680/lecture2/node5.html
  | accessdate = 2008-09-04 
}} -->
* {{cite book
  | last = Rockafellar
  | first = R. T.
  | author-link= R. Tyrrell Rockafellar
  | title = Convex analysis
  | url = https://archive.org/details/convexanalysis0000rock
  | publisher = Princeton University Press
  | year = 1970
  | location = Princeton
}}
* {{cite book
  | last = Thomson
  | first = Brian
  | title = Symmetric Properties of Real Functions
  | publisher = CRC Press
  | year = 1994
}}
* {{cite book|last=Zălinescu|first=C.|title=Convex analysis in general vector spaces|publisher=World Scientific Publishing&nbsp; Co.,&nbsp;Inc|location=River Edge,&nbsp;NJ|year=2002|pages=xx+367|isbn=981-238-067-1|mr=1921556}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{آنالیز محدب}}

{{ریاضیات-خرد}}

[[رده:آنالیز محدب]]
[[رده:انواع توابع]]
[[رده:تحدب تعمیم‌یافته]]