نمایش مبدأ برای تابع سینک

در [[ریاضیات]]، '''تابع سینک''' (که با ''(sinc(x'' و گاهی با ''(Sa(x'' نشان داده می‌شود) دو تعریف نسبتاً معادل همدیگر دارد. در [[پردازش سیگنال رقمی]] و [[نظریه اطلاعات]] '''تابع سینک نرمال شده''' معمولاً با رابطه زیر تعریف می‌شود:

:<math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\,\!</math>

این تعریف نام نرمال شده را به این دلیل یدک می‌کشد که [[انتگرال]]<nowiki/>گیری بر روی تمام ''x'' به مقدار واحد منجر می‌شود. [[تبدیل فوریه]] تابع نرمال شده سینک با [[تابع مستطیلی]] شناخته می‌شود.

در ریاضیات '''تابع سینک غیر نرمال شده''' باستانی به صورت زیر تعریف می‌شود:

:<math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\,\!</math>

تنها تفاوت بین این دو تعریف مقیاس دهی [[متغیر مستقل]] (همان [[محور x]]) با عامل ضرب شونده [[pi|π]] است. در هر دو حالت، مقدار تابع در [[ناتکینی قابل رفع]] در نقطه صفر گاهی به‌طور خاص در حد برابر با ۱ مشخص می‌شود.<ref>
{{cite book
 | title = The complete idiot's guide to calculus
 | author = W. Michael Kelley
 | publisher = Alpha Books
 | year = 2002
 | isbn = 9780028643656
 | page = 144
 | url = http://books.google.com/books?id=H-0L9Dxor6sC&pg=PA144&dq=l%27hopital%27s+intitle:calculus+example-1+derivative-of-sin-x+cos-x&lr=&as_brr=0&ei=R5baSuw6gvyVBPfqodcI#v=onepage&q=l'hopital's%20intitle%3Acalculus%20example-1%20derivative-of-sin-x%20cos-x&f=false
 }}</ref> تابع سینک در همه جا [[تابع تحلیلی|تحلیلی]] است.

عبارت "sinc" که دارای تلفظ ({{IPA-en|ˈsɪŋk}}) است، از قطع انتهای تام لاتین کامل تابع که ''sinus cardinalis'' (همان cardinal sine انگلیسی) است بدست آمده است.

== خواص ==

[[پرونده:Sinc function (both).svg|thumb|350px|right|The normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale from ''x''&nbsp;=&nbsp;−6π to 6π.]]

[[عبور از صفر]] (zero crossing) تابع سینک غیرنرمال شده در مضارب π؛ تلاقی با محور تابع سینک نرمال شده در اعداد صحیح غیر صفر.

نقاط ماکزیزم و مینیمم نسبی تابع سینک نرمال نشده متناظر است با نقاط تقاطع آن با تابع کسینوس. یعنی، (sin(ξ)/ξ = cos(ξ به ازای تمام ξهایی که مشتق ''sin(''x'')/''x در آن‌ها صفر راست (که در نتیجه به یک اکسترمم نسبی رسیده ایم).

تابع سینک نرمال شده دارای یک نمایش ساده در حالت [[ضرب نامحدود]] است:

:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!</math>

و توسط [[فرمول انعکاس اولر]] با [[تابع گاما|تابع گامای]] <math>\Gamma</math> مرتبط می‌شود:

:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}.\,\!</math>

[[لئونارد اویلر]] کشف کرد که

:<math>\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).</math>

[[تبدیل فوریه|تبدیل فوریه پیوسته زمان]] تابع سینک نرمال شده (نسبت به فرکانس معمولی) [[تابع مربعی|(''rect(''f'']] است،

:<math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \mathrm{rect}(f),\,\!</math>

که پاسخ [[تابع مستطیلی]] بین minus;1/2& و 1/2 برابر 1 است، و در سایر مناطق برابر صفر است. این مسئله متناظر با ین واقعیت است که [[فیلتر سینک]] ([[فیلتر دیوار آجری|دیوار آجری]] یعنی [[پاسخ فرکانسی]] مربعی) یک [[فیلتر پایین گذر]] ایده آل است. انتگرال فوریه مذکور، با در نظر گرفتن حالت خاص زیر

:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1\,\!</math>

یک [[انتگرال اولیه]] است و یک انتگرال همگرای [[:en:Lebesgue integral]] نیست 

:<math>\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty.</math>

تابع سینک نرمال شده خواصی دارد که آن را در رابطه با [[میانیابی]] [[نمونه‌برداری (آمار)|نمونه‌برداری]] توابع [[محدود باند]] ایده آل می‌سازد:

* این یک تابع میانیاب است، یعنی sinc(0) = 1 و برای ''k''های [[اعداد صحیح|صحیح]] غیر صفر داریم sinc(''k'') = 0.
* تابع (''x<sub>k</sub>''(''t'') = sinc(''t−k'' یک تابع [[wikipedia:orthonormal basis|پایه ارتونرمال]] برای توابع [[محدود باند]] در [[wikipedia: Lp space|فضای تابع]] ('''''L'''''<sup>2</sup>('''R''' است، با فرکانس زاویه حداکثر
''ω<sub>''H</sub> = ''π''
(یعنی فرکانس دوره ای حداکثر ƒ''<sub>H</sub>&nbsp;=&nbsp;1/2''). 

خواص دو تابع سینک دیگر به شرح زیر است:

* تابع سینک غیرنرمال شده، [[تابع بسل]] کروی درجه صفر<sup>th</sup> از نوع اول است، <math>\scriptstyle j_0(x)</math>. تابع سینک نرمال شده (''j''<sub>0</sub>(''πx'' است.

* <math> \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x) \,\!</math> 
که (''Si(''x انتگرال سینوسی است.

* تابع (''λ sinc(λ ''x (نرمال نشده) یکی از پاسخ‌های مستقل خطی به [[معادله دیفرانسیل معمولی]] خطی زیر است:

 <math>x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!</math>

تابع دیگر cos(λ ''x'')/''x'' است، که به x'' = 0'' محدود است، برعکس تابع سینک همراهش:

* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \,\! \rightarrow \int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}^2(x)\,dx = 1 </math>

که تابع سینک نرمال شده واسط (meant) است.

* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!</math>

* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} \,\!</math>

== ارتباط با توزیع دلتای دیراک ==

تابع سینک نرمال شده را می‌توان به عنوان [[تابع دلتای دیراک|مولد تابع دلتا]] استفاده کرد، در صورتی که [[wikipedia:weak topology|حد ضعف]] زیر برقرار باشد:

:<math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).</math>

حد اشاره شده در بالا یک حد معمولی نیست، زیرا سمت چپ این حد همگرا نیست. در عوض می‌توان گفت

:<math>\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
            = \varphi(0),
</math>

برای هر تابع هموار <math>\scriptstyle \varphi(x)</math> با [[wikipedia:compact support|compact support]] برقرار است.
 
در عبارت بالا، در حالی که ''a'' به صفر میل می‌کند، تعداد نوسان در واحد طول تابع سینک به بینهایت نزدیک می‌شود. با این حال، عبارت مذکور همیشه در داخل پوش (π ''a'' ''x'')/1 ± قرار دارد، و برای هر مقدار غیر صفر ''x'' به صفر میل می‌کند. این عمل تصویر غیررسمی (δ(x را که برای هر ''x'' غیر از ''x'' = 0 صفر است را پیچیده می‌کند، و مسئله تجسم تابع دلتا را به صورت تابع ( و نه یک توزیع) ساده می‌کند. مفهوم مشابهی را در [[مفهوم گیبس]] می‌توان یافت.

== پیوندهای مرتبط ==
* [[تابع دیریکله]]
* [[wikipedia:Anti-aliasing]]
* [[فیلتر سینک]]
* [[wikipedia:Lanczos resampling|بازنمونه برداری لانکزوس]]
* [[wikipedia:Whittaker–Shannon interpolation formula|فرمول میانیابی ویتاکر-شانون]]

== منابع ==

{{پانویس}}

== پیوندهای خارجی ==
* {{wikipedia:MathWorld|title=Sinc Function|urlname=SincFunction}}

<nowiki><nowiki>اینجا متن قالب‌بندی‌نشده وارد شود</nowiki></nowiki>

[[رده:پردازش سیگنال]]
[[رده:توابع ریاضی]]