نمایش مبدأ برای تابع دیریکله

'''تابع دیریکله''' [[تابع|تابعی]] است که در سال ۱۸۲۹ توسط ریاضیدان آلمانی، [[یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله]] معرفی شد و چنین تعریف می‌شود:

اگر <math>f\colon\R\mapsto\{0,1\}</math> آنگاه

{{چپ‌چین}}
: <math>f(x) := \begin{cases}1, & x\in \mathbb Q, \\
 0, & x \in (\mathbb R - \mathbb Q). \end{cases}</math>
{{پایان}}
یعنی اگر ''x'' [[عدد گویا|عددی گویا]] باشد، مقدار تابع دیریکله ۱ و اگر ''x'' [[عدد گنگ|عددی گنگ]] باشد، مقدار تابع دیریکله ۰ خواهد شد. از جمله ویژگی‌های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه‌ای از <math>\mathbb R</math> ([[اعداد حقیقی]]) [[تابع پیوسته|پیوسته]] نمی‌باشد.<ref>{{پک|بارتل|شربرت|۱۳۷۸|ک=آشنایی با آنالیز حقیقی|ص=۱۵۶}}</ref> این تابع همچنین در هیچ نقطه و بازه‌ای دارای [[حد (ریاضی)|حد]] و [[انتگرال|انتگرال‌پذیر]] نمی‌باشد. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.

== اثبات ناپیوستگی تابع دیریکله ==
ادعا می‌کنیم که تابع دیریکله در هیچ نقطه‌ای از <math>\mathbb R</math> [[تابع پیوسته|پیوسته]] نیست.

اگر ''c'' عددی گویا باشد، فرض می‌کنیم (''x<sub>n</sub>'') دنباله‌ای از اعداد گنگ باشد که به ''c'' همگراست.<ref group="یادداشت">بنابر نتیجه‌ای از قضیه چگالی که بیان می‌کند: «اگر ''x'' و ''y'' دو عدد حقیقی با شرط ''x<y'' باشند، آنگاه عددی گنگ مانند z وجود دارد که ''x<z<y''{{رچ}}»، چنین دنباله‌ای وجود دارد.</ref> چون به ازای هر <math>n \in \mathbb N</math>،{{رچ}} {{math|''f''(''x<sub>n</sub>'') {{=}} ۰}}، داریم {{math|lim(''f''(''x<sub>n</sub>'')) {{=}} ۰}} در حالی که {{math|''f''(''c'') {{=}} ۱}}. بنابراین ''f'' در عدد گویای ''c'' پیوسته نیست.

از طرفی دیگر، اگر ''b'' یک عدد گنگ باشد، فرض می‌کنیم (''y<sub>n</sub>'') دنباله‌ای از اعداد گویا باشد که به ''b'' همگراست.<ref group="یادداشت">بنابر قضیه چگالی که بیان می‌کند: «اگر ''x'' و ''y'' دو عدد حقیقی با شرط ''x<y'' باشند، آنگاه عددی گویا مانند r وجود دارد که ''x<r<y''{{رچ}}»، چنین دنباله‌ای وجود دارد.</ref> چون به ازای هر <math>n \in \mathbb N</math>،{{رچ}} {{math|''f''(''y<sub>n</sub>'') {{=}} ۱}}، داریم {{math|lim(''f''(''x<sub>n</sub>'')) {{=}} ۱}} در حالی که {{math|''f''(''b'') {{=}} ۰}}. بنابراین ''f'' در عدد گنگ ''b'' پیوسته نیست.<ref>{{پک|بارتل|شربرت|۱۳۷۸|ک=آشنایی با آنالیز حقیقی|ص=۱۵۶}}</ref>

== تابع ناپیوسته در همه جا ==
در [[ریاضیات]]، یک '''تابع ناپیوسته در همه جا'''، که یک '''تابع همه جا ناپیوسته''' نیز خوانده می‌شود، یک [[تابع]] است که در هر نقطه‌ای از [[دامنه|دامنه اش]] [[تابع پیوسته|پیوسته]] نیست. اگر ''f'' یک تابع از [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] باشد، آنگاه (''f''(''x'' در هیچ نقطه‌ای پیوسته نخواهد بود اگر برای هر ''x'' یک ε&nbsp;&gt;&nbsp;۰ وجود داشته باشد به طوری که برای هر δ&nbsp;&gt;&nbsp;۰ بتوانیم یک ''y'' پیدا کنیم به طوری که
|''x''&nbsp;−&nbsp;''y''|&nbsp;&lt;&nbsp;δ and |''f''(''x'')&nbsp;−&nbsp;''f''(''y'')|&nbsp;≥&nbsp;ε
اهمیت این عبارت در این است که بدون توجه به اینکه ما به یک نقطه ثابت چقدر نزدیک هستیم، نقاطی نزدیکتر به نقطه مورد نظر وجود دارند به طوری که در آن نقاط تابع هیچ همسایگی ندارد.

تعریف کلی تر این نوع توابع را می‌توان با جایگرینی تابع فاصله به جای [[قدر مطلق (ریاضی)|مقدار مطلق]] در یک [[فضای متری]]، یا با استفاده از تعریف پیوستگی در یک [[فضای توپولوژیک]] بدست آورد.

مثالی از چنین توابعی [[تابع شاخص]] [[عدد گویا|اعداد گویا]] هستند، که با تابع دیریکله هم شناخته می‌شوند. این نام گذاری پس از مرگ [[پیتر گوستاو لژیون دیریکله]] [[ریاضیدان]] [[آلمان|آلمانی]] انجام شد. این تابع به صورت ''I''<sub>'''Q'''</sub> نوشته می‌شود و دارای [[دامنه]] و [[ویکی‌پدیا:codomain|هم دامنه‌ای]] برابر با [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] هستند. (''I''<sub>'''Q'''</sub>(''x'' برابر ۱ است اگر ''x'' یک [[عدد گویا]] باشد و برابر ۰ است اکر ''x'' گویا نباشد. اگر در یک سری همسایگی‌ها در ''y'' به تابع نگاه بیندازیم، به دو مورد برخورد می‌کنیم:
* اگر ''y'' گویا باشد، آنگاه f''(''y'')&nbsp;=&nbsp;۱''. برای اینکه نشان دهیم این تابع در ''y'' پیوسته نیست، نیاز به یافتن یک ε داریم به طوری که بدون توجه به اینکه δ چقدر کوچک انتخاب شود، یک نقطه مانند ''z'' در فاصله δ از ''y'' وجود دارد به طوری که (''f''(''z'' در داخل محدوده با فاصله ε از f''(''y'')&nbsp;=&nbsp;۱'' قرار نمی‌گیرد. در واقع ۱/۲ یک چنین عددی است. از آنجا که [[عدد ناگویا|اعداد ناگویا]] بر روی اعداد حقیقی [[مجموعه متراکم]] به حساب می‌آیند، بدون توجه به δ انتخاب شده، می‌توانیم یک ''z'' ناگویا در فاصله δ از ''y'' و پیدا کنیم، و ''f''(''z'')&nbsp;=&nbsp;۰ حداقل به اندازه ۱/۲ از ۱ فاصله دارد.
* اگر ''y'' ناگویا باشد، آنگاه f''(''y'')&nbsp;=&nbsp;۰''. عیناً، می‌توانیم ε&nbsp;=&nbsp;۱/۲ را انتخاب کنیم، و حال، از آنجا که اعداد گویا بر روی اعداد حقیقی فشرده هستند، می‌توانیم یک ''z'' را به گونه‌ای انتخاب کنیم که یک عدد گویا باشد و به اندازه کافی به ''y'' نزدیک باشد. بدین صورت، ''f''(''z'')&nbsp;=&nbsp;۱ بیشتر از ۱/۲ با f''(''y'')&nbsp;=&nbsp;۰'' فاصله دارد. به عبارت ساده‌تر، بین هر دو عدد ناگویا، یک عدد گویا وجود دارد و بالعکس.

''تابع دیریکله'' را می‌توان به صورت یک حد مقطه‌ای دوگانه یک توالی از توابع پیوسته بازسازی کرد:

:<math>f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)</math>

که ''j'' و ''k'' [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] هستند.

این نشان می‌دهد که ''تابع دیریکله'' یک [[ویکی‌پدیا:Baire function|تابع بیر]] کلاس ۲ است. این تابع نمی‌تواند تابع بیر کلاس ۱ باشد زیرا یک تابع بیر کلاس ۱ تنها می‌تواند بر روی یک [[ویکی‌پدیا:meagre set|مجموعه محدود]] ناپیوسته باشد.<ref>{{cite book
  | last = Dunham
  | first = William
  | title = The Calculus Gallery
  | url = https://archive.org/details/calculusgallerym00dunh_225
  | publisher = Princeton University Press
  | date = 2005
  | pages = [https://archive.org/details/calculusgallerym00dunh_225/page/n211 197]
  | isbn = 0-691-09565-5}}</ref>

در حالت کلی، اگر ''E'' زیرمجموعه‌ای از [[فضای توپولوژیک]] ''X'' باشدبه طوری که هر دوی ''E'' و مکمل ''E'' چگال باشند، آنگاه تابع با مقدار حقیقی که مقدار ۱ را بر روی ''E'' و ۰ را بر روی مکمل ''E'' برمی‌چیند، هیچ جا پیوسته نخواهد بود. توابعی از این دست اصولاً توسط [[ویکی‌پدیا:Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|دیریکله]] مورد بررسی قرار گرفتند.

== جستارهای وابسته ==
* [[تابع توما]]

== یادداشت ==
{{پانویس|گروه=یادداشت}}

== پانویس ==
{{پانویس}}

== منابع ==
* {{یادکرد کتاب | عنوان=آشنایی با آنالیز حقیقی | ناشر=فاطمی | ترجمه=طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار | سال=۱۳۷۸ | شابک=964-486-090-X | مکان=تهران | نام=رابرت ج. | نام خانوادگی=بارتل | نام خانوادگی۲=شربرت | نام۲=دانلد ر.}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html Dirichlet Function -- from MathWorld]
* [https://web.archive.org/web/20190502165330/http://demonstrations.wolfram.com/TheModifiedDirichletFunction/ The Modified Dirichlet Function] by George Beck، [[The Wolfram Demonstrations Project]].

{{توابع ریاضی}}

[[رده:انواع توابع]]
[[رده:توپولوژی]]
[[رده:آنالیز حقیقی]]