نمایش مبدأ برای تابع بسل

'''توابع بسل''' اولین بار توسط [[دانیل برنولی]] تعریف شد و سپس [[فردریش بسل]] فرم عمومی آن را بررسی نمود. توابع بسل جواب‌هایِ [[معادله دیفرانسیل]] زیر می‌باشند<ref>Bessel Functions and Their Applications (Analytical Methods and Specialfunctions, 8) (Hardcover)
by B G Korenev</ref>:

تابع بسل از روی بسل تانیا الهام گرفته شده است
[[پرونده:Vibrating drum Bessel function.gif|بندانگشتی]]
{{چپ‌چین}}
<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (m^2x^2 - \alpha^2)y = 0</math>
{{پایان}}

معادلهٔ بسلی معادله‌ای است که از معادلات قابل‌حل با سری‌هاست و دارای [[نقطه تکین]] منظّم است. نقطهٔ <math>x=0</math> یگانه نقطهٔ غیرعادی معادلهٔ فوق است. جواب‌های متعامد [[معادله اشتورم-لیوویل]] به توابع بسل معروفند.

تابعِ بسل اصلاح شده:

{{چپ‌چین}}
<chem display="inline">x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + n^2)y = 0
</chem>
{{پایان}}


[[Bessel functions|در]] معادلهٔ بالا، <math>n </math> یک [[عدد صحیح]] است که مرتبهٔ تابع بسل را مشخص می‌کند. به‌طورکلّی، توابع بسل از حل [[معادله لاپلاس|معادلات دیفرانسیل پاره‌ای لاپلاس]] و [[معادله هلمهولتز]] در [[مختصات استوانه‌ای]] و [[مختصات کروی]] بدست می‌آید. از این رو، این توابع در تئوری انتشار امواج و تئوری پتانسیل اهمیت به‌سزایی دارد، البته این توابع در حل معادلات ارتعاشات، معادلات رسانایی گرما و [[امواج الکترومغناطیس]] در مختصات استوانه‌ای ظاهر می‌شود.

== تعریف ==
'''توابع بسل نوع اول''' آن دستهٔ از توابعی هستند که مربوط به <math>\alpha </math> بوده و به‌عنوان [[عدد طبیعی]] منفی هستند که در صفر متناهی می‌باشد:
{{وسط‌چین}}
:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>
{{پایان}}

که <math>\Gamma (z)</math> [[تابع گاما]] است که حالت کلّی فاکتوریل برای اعداد غیرطبیعی است.

[[پرونده:Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg|بندانگشتی|300px|وسط|نمودار توابع بسل از نوع اول، J<sub>α</sub>(x)، به ازای مقادیر صحیح مرتبه α=۰٬۱,۲.]]

'''توابع بسل نوع دوم''' آن دسته توابعی هستند که در مبدأ مختصات (نقطه صفر) [[نقطه تکین|تکینه]] هستند:

{{وسط‌چین}}
<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}</math>
{{پایان}}

[[پرونده:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg|بندانگشتی|300px|وسط|نمودار توابع بسل از نوع دوّم، (''Y''<sub>''α''</sub>(''x''، به‌ازای مقادیر صحیح مرتبهٔ a=۰,۱,۲.]]

== منابع ==
* {{یادکرد
|فصل=
|کتاب=معادلات دیفرانسیل معمولی
|[[نویسنده =]] حاجی جمشیدی-سردار
|ترجمه=
|ناشر =صفار-اشراقی
|شهر=
|کوشش=
|ویرایش=
|صفحه=۱۷۶
|سال=۱۳۸۴
|شابک=964-5973-13-9
}}
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
{{ویکی‌انبار-رده|Drum vibration animations}}
{{توابع ریاضی}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:آنالیز فوریه]]
[[رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص]]
[[رده:توابع خاص]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل]]