نمایش مبدأ برای تابع بتا

'''تابع بتا''' یا [[انتگرال اویلر|انتگرال نوع اول اویلر]] به شکل زیر تعریف می‌شود:
:<math>
 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!</math>
برای <math>\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,</math>.

== خواص تابع بتا ==
تابع بتا یک تابع متقارن است به این معنی که:<ref name="Davis622">Davis (1972) 6.2.2 p.258</ref>

<math>B(p,q)= B(q,p)
</math>

این تابع از طریق زیر با تابع گاما مرتبط است:<ref name="Davis622"/>

<math>B(x,y) = \Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)
</math>

وقتی <math>x
</math> و <math>y
</math> هر دو صحیح و مثبت باشند، طبق تعریف [[تابع گاما]] معادله پایین برقرار خواهد بود:<ref name="Davis621">Davis (1972) 6.2.1 p.258</ref>

<math>\begin{align}
\Beta(x,y)&=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!} \\[6pt]
\Beta(x,y) &= 2\int_0^{\pi / 2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, && \operatorname{Re}(x)>0,\ \operatorname{Re}(y)>0 \\[6pt]
\Beta(x,y) &= \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, && \operatorname{Re}(x)>0,\ \operatorname{Re}(y)>0 \\[6pt]
\Beta(x,y) &= n\int_0^1t^{nx-1}(1-t^n)^{y-1}\,dt, && \operatorname{Re}(x)>0,\ \operatorname{Re}(y)>0,\ n>0 \\[6pt]
\Beta(x,y) &= \sum_{n=0}^\infty \frac\binom{n-y}{n} {x+n}, \\[6pt]
\Beta(x,y) &= \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}
\end{align}</math>

<br/>از دیگر خواص تابع بتا معادله پایین است:

<math>\begin{align}
\Beta(x,y) &= \Beta(x, y+1) + \Beta(x+1, y) \\[6pt]
\Beta(x+1,y) &= \Beta(x, y) \cdot \dfrac{x}{x+y} \\[6pt]
\Beta(x,y+1) &= \Beta(x, y) \cdot \dfrac{y}{x+y} \\[6pt]
\Beta(x,y)&\cdot\left(t \mapsto t_+^{x+y-1}\right) = \Big(t \to t_+^{x-1}\Big) * \Big(t \to t_+^{y-1}\Big) && x\ge 1, y\ge 1, \\[6pt]
\Beta(x,y) &\cdot \Beta(x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)} \\[6pt]
\Beta(x,1-x) &= \dfrac{\pi}{\sin(\pi x)} \\[6pt]
\Beta(1,x) &= \dfrac{1}{x}
\end{align}</math>

تابع بتا را می توان با [[تقریب استرلینگ]] برای <math>x</math> و <math>y</math> های بزرگ به شکل پایین نمایش داد:

<math>\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{x^{x - 1/2} y^{y - 1/2} }{( {x + y} )^{x + y - 1/2} }</math>

<br/>ولی اگر فقط <math>x</math> بزرگ بود تقریب به شکل پایین تغییر خواهد یافت:

<math>\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.</math>

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_function&oldid=356423000|عنوان = Beta function|بازیابی =۳۱ می ۲۰۱۱}}
* {{citation | first=Philip J. | last=Davis | chapter=6. Gamma function and related functions | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=Milton Abramowitz | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=Irene Stegun | title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972 | url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:توابع خاص]]
[[رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص]]
[[رده:گاما و توابع مرتبط]]