نمایش مبدأ برای بسط تیلور

{{حساب دیفرانسیل و انتگرال}}

در [[ریاضیات]]، '''سری تیلور''' یا '''بسط تیلور''' {{به انگلیسی|Taylor series}}، [[نمایش یک تابع]] به صورت [[سری (ریاضیات)|مجموع بی‌نهایت]] جمله است که از [[مشتق]]‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، [[بروک تیلور]]، در سال ۱۷۱۵ [[میلادی]]، مفهوم سری تیلور را به‌طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری، [[سری مکلورن|سری مکلارن]] نامیده می‌شود که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، [[کالین مکلورن|کالین مکلارن]] (که در قرن ۱۸م. از این حالت خاص سری تیلور استفاده بسیاری کرد) نام‌گذاری شده‌است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی [[متناهی]] از جملات سری تیلور تقریب بزنند. [[قضیه تیلور]] مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین می‌زند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به [[چندجمله‌ای تیلور]] معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای‌های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتی اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک [[بازه|بازهٔ باز]] (یا یک دیسک در [[صفحه مختلط]]) با سری تیلورش برابر باشد، [[تابع تحلیلی]] نامیده می‌شود.

== تعریف ==
[[پرونده:Exp series.gif|چپ|بندانگشتی| <span style="color:blue;">[[تابع نمایی]] (به رنگ آبی) </font> و <span style="color:red;">مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه ۰ (به رنگ قرمز)</font>]]

[[پرونده:sintay.svg|بندانگشتی|300px|<span style="color:#222;">هر چه درجه چند جمله‌ای تیلور حول نقطه مد نظر افزایش پیدا کند، تابع تقریب تیلور به تابع اصلی نزدیک‌تر می‌شود. این تصویر  <math>\sin(x)</math> و تقریب‌های تیلور آن را تا جملات <span style="color:red;">۱، <span style="color:orange;">۳، <span style="color:yellow;">۵، <span style="color:green;">۷، <span style="color:blue;">۹، <span style="color:indigo;">۱۱ و <span style="color:violet;">۱۳ نشان می‌دهد.]]

سری تیلور یک تابع <math>f(x)</math> با مقادیر [[اعداد حقیقی|حقیقی]] یا [[آنالیز مختلط|مختلط]] که در [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] نقطه [[اعداد حقیقی|حقیقی]] یا [[اعداد مختلط|مختلط]] <math>x_0</math> [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] بار مشتق‌پذیر است، [[سری توانی|سری توانیِ]] زیر است:
{{وسط‌چین}}
<math>f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که می‌توانیم آن را با علامت [[سیگما]] خلاصه‌تر بنویسیم:
{{وسط‌چین}}
<math>
f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
:که در اینجا <math>n!</math> به معنی [[فاکتوریل]] عدد <math>n</math> و <math>f^{(n)}(x_0)</math> به معنی مشتق مرتبه<math>n</math>اُم تابع <math>f</math> در نقطه <math>x_0</math> است. طبق تعریف مشتق ۰-اُم هر تابع خودش است و <math>(x-x_0)^0</math> و <math>0!</math> هر دو برابر ۱اند. اگر <math>x_0=0</math> باشد، سری همان [[سری مکلورن]] است.

== اثبات ==
فرض کنید می‌خواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل <math>P(x)</math> مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه <math>a</math> با تابع <math>f(x)</math> یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه <math>a</math> با <math>f</math> برابر باشد پس داریم:
<math>P(a)=f(a)</math>
تا اینجا داریم <math>P(x)=f(a)</math> و اکنون برای اینکه تابع <math>P</math> در همسایگی <math>a</math> نیز شبیه <math>f</math> شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های <math>f</math> برابر باشد. مشتق‌های <math>f</math> را به صورت مضاربی از x به <math>P</math> اضافه می‌کنیم به‌طوری که: (۱) در نقطهٔ <math>a</math> برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (۲) مشتق i-اُمِ <math>P</math> برابر با مشتق i-اُمِ <math>f</math> باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ <math>f</math> را به ضریبِ <math>\frac{(x-a)^i}{i!}</math> قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب می‌شود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت  <math>P^{(i)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f^{(i)}(a))(i!)\frac{(x-a)^i}{i!}=f^{(i)}(a)</math>. اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع <math>P</math> بیشتر شبیه <math>f</math> شده تا در بینهایت هم‌ارز خود <math>f</math> شود.
{{وسط‌چین}}
<math>f(x) \sim P(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. </math>
{{پایان وسط‌چین}}
یا همان:
{{وسط‌چین}}
:<math>f(x) \sim P(x)= \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
گاهی درگرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده می‌کنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع <math>sin(x)</math> دور نقطه ۰ داریم:
{{وسط‌چین}}
:<math>\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
پس در حد گرفتن، هرجا کمان <math>sin(x)</math> به سمت صفر میل کند داریم:
{{وسط‌چین}}
<math>\sin (x) \sim  x - \frac{x^3}{3!} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

== نمونه ==
{{وسط‌چین}}
<math>f (x)=e^{2x}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
در همسایگی (۱-)، بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:
{{وسط‌چین}}
<math>e^{2x}= \frac{(1)}{(e^2)}+\frac{(2)(x+1)}{(1!)(e^2)} +\frac{(2^2)(x+1)^2}{(2!)(e^2)}+\frac{(2^3)(x+1)^3}{(3!)(e^2)}+...</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(2)^{(n)}}{((n)! e^2)} (x+1)^{n}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش [[سری‌های توانی]] استفاده کرد.

== موارد پر کاربرد ==
;تابع نمایی:
{{وسط‌چین}}
:<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for all } x\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;لگاریتم طبیعی:
{{وسط‌چین}}
:<math>\ln(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;دنبالهٔ هندسی متناهی:
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;دنبالهٔ هندسی نامتناهی:
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| <1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;متغیرهای دنبالهٔ هندسی نامتناهی:
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^{-n}\text{ for }|x|> 1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| <1 \text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| <1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x|> 1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;ریشهٔ مربع
{{وسط‌چین}}
:<math>\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;بسط دو جمله‌ای:
{{وسط‌چین}}
:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| <1 \text{ and all complex } \alpha\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;توابع مثلثاتی:
{{وسط‌چین}}
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
;توابع هذلولی:
{{وسط‌چین}}
:<math>\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for all } x\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for all } x\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| <1\!</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== منابع ==
{{پانویس}}
{{آغاز چپ‌چین}}
* Thomas, George B. Jr. ; Finney, Ross L. (1996). ''Calculus @ and Analytic Geometry'' (9th ed.). Addison Wesley. {{ISBN|0-201-53174-7|en}}.
* Greenber, Michael (1998). ''Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.)''. Prentice Hall. {{ISBN|0-13-321431-1|en}}.
* Navid K. Jalali; Doctrine: How Limits Work.
{{پایان چپ‌چین}}
{{موضوعات حسابان}}
{{سری‌ها (ریاضیات)}}
[[رده:آنالیز حقیقی]]
[[رده:آنالیز ریاضی]]
[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:سری‌های ریاضی]]