نمایش مبدأ برای برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی

{{جعبه عدد پی}}
[[برهان (ریاضی)|برهان]] معروفی که نشان می‌دهد [[عدد گویا]]ی ۲۲/۷  بزرگتر از [[عدد پی]] به دوران باستان بر می‌گردد. یکی از این برهان‌ها که از طریق [[حساب دیفرانسیل]] به دست می‌آید به تازگی به خاطر [[زیبایی ریاضی]] و ارتباطش با نظریه [[تقریب دیوفانته]] مورد توجه قرار گرفته‌است. استیون لوکاس این برهان را «یکی از زیباترین نتایج مرتبط با تقریب عدد پی» می‌نامد.<ref name="Lucas2005">{{Citation|last=Lucas|first=Stephen|title=Integral proofs that|journal=Australian Mathematical Society Gazette|volume=32|issue=4|pages=263–266|year=2005|url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf|mr=2176249|zbl=1181.11077}}</ref>

هدف اصلی این برهان اثبات اینکه ۲۲/۷ بزرگتر از عدد پی است، نیست. ۲۲/۷ {{Nowrap|(یا ۳<sup>۱</sup>⁄<sub>۷</sub>)}} قطعاً بزرگتر از&nbsp;{{pi}} است.

== پس‌زمینه ==
۲۲/۷ در [[تقریب دیوفانته]] تقریباً برابر با عدد پی در نظر گرفته می‌شود. مقادیر این دو عدد به صورت زیر هستند.

:<math>\begin{align}
  \frac{22}{7} & = 3. \overline{142\,857}, \\
  \pi\,        & = 3.141 \,592\,65\ldots
  \end{align}</math>

در سده سوم پیش از میلاد [[ارشمیدس]] نگاشته‌بود که ۲۲/۷ یک تقریب بزرگتر از عدد پی است. اثبات وی بر مبانی اندازه‌گیری نسبت محیط [[دایره محیطی]] یک ۹۶ ضلعی منتظم استوار بود.
== اثبات ==
برهان به صورت زیر قابل خلاصه شدن است.

:<math> 0 < \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx = \frac{22}{7} - \pi. </math>

بنابرین, ۲۲/۷&nbsp;>&nbsp;{{pi}}.

محاسبه این [[انتگرال]] اولین بار در [[مسابقه ریاضی ویلیام لاول پاتنام]] سال ۱۹۶۸ مطرح گردید.<ref>{{Citation
  | last = Alexanderson
  | first = Gerald L. | author1-link = Gerald L. Alexanderson
  | last2 = Klosinski
  | first2 = Leonard F.
  | last3 = Larson
  | first3 = Loren C. (editors)
  | title = The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984
  | place = Washington, D.C.
  | publisher = The Mathematical Association of America
  | year = 1985
  | url = https://books.google.com/?id=HNLRgSGZrWMC&pg=PA9&dq=December-7-1968+Putnam+Mathematical-Competition
  | isbn = 0-88385-463-5
  | zbl = 0584.00003}}</ref>

== پانویس ==
{{پانویس}}
*{{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Proof_that_22/7_exceeds_π&oldid=770379574|عنوان=Proof that 22/7 exceeds π|زبان=انگلیسی|بازیابی=}}
{{موضوعات حسابان}}
[[رده:پی]]