نمایش مبدأ برای اینفیمم و سوپریمم

[[پرونده:Infimum illustration.svg|بندانگشتی|مجموعهٔ <math>\mathrm{T}</math> از اعداد حقیقی (دایره‌های خالی و پر)، زیرمجموعهٔ <math>\mathrm{S}</math> از <math>\mathrm{T}</math> (دایره‌های پر) و اینفیمم <math>\mathrm{S}</math>. توجّه کنید که برای مجموعه‌های متناهی و کاملاً مرتب، اینفیمم و مینیمم یکی هستند.]]
[[پرونده:Supremum illustration.svg|بندانگشتی|یک مجموعه از اعداد حقیقی (دایره‌های آبی)، یک مجموعه از کران های بالای <math>\mathrm{A}</math> (مروارید و دایره‌های قرمز)، و کوچکترین کران بالای این‌چنینی، یعنی سوپریمم <math>\mathrm{A}</math> (مروارید قرمز) ]]
در [[ریاضیات]]، '''اینفیمم''' یا '''زیرینه''' <ref>{{یادکرد فرهنگستان | مصوب=زیرینه، اینفیمم | بیگانه=infimum | بیگانه در فارسی= | مصوب مترادف=بزرگ‌ترین کران پایین | بیگانهٔ مترادف=greatest lower bound | بیگانه در فارسی مترادف= | حوزه=ریاضی | دفتر=پنجم | بخش=فارسی | سرواژه=زیرینه}}</ref> (مخفّف و نماد آن '''inf''') یک [[زیرمجموعه]] چون <math>\mathrm{S}</math> از [[مجموعه جزئی‌مرتب|مجموعهٔ با ترتیب جزئی]] چون <math>\mathrm{T}</math>، بزرگترین عنصر درون <math>\mathrm{T}</math> است که (در صورت وجود) کوچکتر یا مساوی با تمام اعضای <math>\mathrm{S}</math> باشد.<ref name="BabyRudin">{{cite book|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|edition=3rd|year=1976|isbn=0-07-054235-X|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|page=4|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref> لذا عموماً اصطلاح ''بزرگترین کران پایین'' (مخفّف آن GLB) استفاده می‌شود.<ref name="BabyRudin" />

'''سوپریمم''' یا '''زبرینه''' <ref>{{یادکرد فرهنگستان | مصوب=زبرینه | بیگانه=supremum | بیگانه در فارسی= | مصوب مترادف=سوپرمم | بیگانهٔ مترادف=least upper bound | بیگانه در فارسی مترادف= | حوزه=ریاضی | دفتر=پنجم | بخش=فارسی | سرواژه=زبرینه}}</ref> (مخفّف و نماد آن '''sup''') یک [[زیرمجموعه]] چون <math>\mathrm{S}</math>  از یک [[مجموعه جزئی‌مرتب|مجموعهٔ با ترتیب جزئی]] چون <math>\mathrm{T}</math>، کوچکترین عنصری در <math>\mathrm{T}</math> است که (در صورت وجود) بزرگتر یا مساوی با تمام اعضای <math>\mathrm{S}</math> باشد.<ref name="BabyRudin" /> لذا، سوپریمم را اغلب ''کوچکترین کران بالا'' (یا LUB) گویند.<ref name="BabyRudin" />

به طور دقیقتر، می‌توان گفت که اینفیمم [[دوگان (ریاضیات)|دوگان]] مفهوم سوپریمم است. اینفیمم ها و سوپریمم های [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] حالات خاص رایجی هستند که در [[آنالیز ریاضی]] اهمیت دارند، به خصوص در [[انتگرال لبگ|انتگرال گیری لبگ]]. با این حال، تعاریف عمومی در بستر مباحث مجرّدتر [[نظریه ترتیب|نظریهٔ ترتیب]]، که در آن [[مجموعه جزئی‌مرتب|مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی]] دلخواهی در نظر گرفته می‌شوند همچنان معتبر باقی می‌مانند.

مفاهیم اینفیمم و سوپریمم به ترتیب مشابه با مفاهیم [[بیشینه و کمینه|مینیمم و ماکسیمم]]  هستند، اما در [[آنالیز ریاضی|آنالیز]] اینفیمم و سوپریمم برای [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه‌هایی]] که [[بیشینه و کمینه|''مینیمم'' و ''ماکسیمم'']] ندارند کاربردی‌ترند. به عنوان مثال، [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] مثبت <math>\mathbb{R^{+}}</math> (شامل صفر نمی‌شوند) [[بیشینه و کمینه|مینیمم]] ندارند، چون هر عنصر از آن را می‌توان بر دو تقسیم کرد و باز عدد کوچکتری به دست آورد که در آن مجموعه باشد. با این حال، دقیقاً یک اینفیمم از [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] مثبت وجود دارد: 0، که کوچکتر از تمام [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] مثبت بوده و بزرگتر از هر کران پایینی برای این اعداد است. 

== تعریف ==
یک کران پایینِ یک [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] <math>S</math> از یک [[مجموعه جزئی‌مرتب|مجموعهٔ جزئی‌مرتّب]] <math>P</math>، یک عنصر <math>a</math> عضو <math>P</math> است به طوری که <math>a \leqslant x ; \forall x \in S</math>.

<math>a</math>، کران پایین <math>S</math>، یک زیرینهٔ <math>S</math> نامیده می‌شود اگر به ازای هر کران پایین <math>y</math>، <math>y \leqslant a</math> (<math>a</math> از هر کران پایین دیگری بزرگتر یا مساوی باشد).

به شکل مشابه، یک کران بالای یک [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] <math>S</math> از یک [[مجموعه جزئی‌مرتب|مجموعهٔ جزئی‌مرتّب]] <math>P</math> یک عنصر <math>b</math> عضو <math>P</math> است به طوری که <math>b \geqslant x ; \forall x \in S</math>.

<math>b</math>، کران بالای <math>S</math>، یک زبرینهٔ <math>S</math> نامیده می‌شود اگر به ازای هر کران بالای <math>z</math>، <math>z \geqslant b</math> (<math>b</math> از هر کران بالای دیگری کوچکتر یا مساوی باشد).

== جستارهای وابسته ==
* [[کمینه و بیشینه]]
* [[حد سوپریمم]]
* [[مجموعه جزئاً مرتب|مجموعهٔ جزئاً مرتب]]
* [[ترتیب کامل]]

== منابع ==
{{چپ‎چین}}
{{reflist}}
{{پایان چپ‎چین}}

[[رده:نظریه ترتیب]]