نمایش مبدأ برای ایده‌آل (نظریه حلقه‌ها)

{{نوارکناری نظریه حلقه‌ها|پایه}}

یک '''ایده‌آل''' {{به انگلیسی|ideal}} در [[نظریه حلقه‌ها]]، که شاخه ای [[جبر مجرد]] است، یک «[[زیرمجموعه]] به‌خصوص» از اعضای یک [[حلقه (ریاضیات)|حلقه]] است. ایده‌آل‌ها زیرمجموعه‌های معینی از [[اعداد صحیح]] مثل [[اعداد زوج و فرد|اعداد زوج]] یا اعداد مضارب ۳ را تعمیم می‌دهند. جمع و [[تفریق]] اعداد زوج، زوجیت را حفظ می‌کند، و همچنین ضرب یک عدد زوج با هر عدد صحیح دیگر، یک عدد زوج خواهد بود؛ این خاصیت‌های [[بستار (ریاضی)|بسته‌بودن]] و جذبی، خواص تعریف کننده یک ایده‌آل هستند. از ایده‌آل می‌توان برای ساخت [[حلقه خارج‌قسمتی]] استفاده کرد، به همان روشی که در [[نظریه گروه‌ها]]، از یک [[زیرگروه نرمال]] برای ساخت یک [[گروه خارج قسمتی|گروه خارج‌قسمتی]] استفاده می‌شود.

از بین [[اعداد صحیح]]، ایده‌آل‌ها در [[تابع یک‌به‌یک|تناظر یک به یک]] با [[عدد طبیعی|اعداد صحیح نامنفی]] هستند: در این حلقه، هر ایده‌آل یک [[:en:Principal_ideal|ایده‌آل اصلی]] است که شامل ضرایب یک عدد نامنفی است. با این حال، در دیگر حلقه‌ها، ایده‌آل‌ها در تناظر مستقیم با عناصر حلقه نیستند، و ویژگی‌های معین اعداد صحیح، وقتیکه به حلقه‌ها تعمیم داده شوند، به صورت طبیعی‌تر با ایده‌آل‌ها و نه عناصر حلقه، متصل می‌گردند. برای مثال، [[ایده‌آل اول|ایده‌آل‌های اول]] یک حلقه، مشابه [[عدد اول|اعداد اول]] بوده و [[قضیه باقی‌مانده چینی|قضیه باقیمانده چینی]] را می‌توان به ایده‌آل‌ها تعمیم داد. نسخه‌ای از [[قضیه اساسی حساب|تجزیه یکتا به اعداد اول]] برای ایده‌آل‌های [[حوزه ددکیند|دامنه ددکیند]] (نوعی حلقه که در [[نظریه اعداد]] اهمیت دارد) هم وجود دارد.

مفهوم مرتبط اما متفاوت، مفهوم [[:en:Ideal_(order_theory)|ایده‌آل]] در [[نظریه ترتیب]] است که، از مفهوم ایده‌آل‌ها در نظریه حلقه‌ها منشأ گرفته‌است. یک [[ایده‌آل کسری]] نوعی تعمیم برای ایده‌آل است، از این رو به ایده‌آل‌های معمولی برای ابهام‌زدایی بهتر گاهی '''ایده‌آل‌های صحیح''' می‌گویند.

== تاریخچه ==
ایده‌آل‌ها اولین بار توسط [[ریچارد ددکیند]] در ۱۸۷۶ میلادی در ویرایش سوم کتابش با عنوان ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' (''رساله‌هایی در مورد نظریه اعداد'') ارائه شدند. آن‌ها تعمیم مفهوم اعداد ایده‌آل بودند که توسط ارنست کومر توسعه یافته بودند.<ref name="flt">{{cite book
| author = Harold M. Edwards
| title = Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory
| year = 1977
| page = 76
}}</ref><ref name="everest_ward">{{cite book
| author = Everest G. , Ward T.
| title = An introduction to number theory
| year = 2005
| page = 83
}}</ref> سپس این مفهوم توسط [[دیوید هیلبرت]] و به‌خصوص [[امی نوتر]] گسترش یافتند.

== تعاریف و انگیزه‌ها ==
برای یک حلقه دلخواه چون <math>(R, +, .)</math>، <math>(R, +, .)</math> را مجگروه جمعی آن در نظر بگیرید. زیرمجموعه ای چون <math>I</math> را '''ایده‌آل چپ''' حلقه <math>R</math> گویند اگر زیرمجموعه‌ای جمعی از <math>R</math> باشد که «ضرب عناصر <math>R</math> را از سمت چپ جذب کند»، یعنی <math>I</math> یک '''ایده‌آل چپ''' است اگر دو شرط زیر را ارضاء کند:
#<math>(I,+)</math> یک زیرگروه از <math>(R,+)</math> باشد،
# برای هر <math>r \in R</math> و هر <math>x \in I</math>، ضرب <math>rx</math> در <math>I</math> باشد.

یک '''ایده‌آل راست''' با جایگزینی شرط "<math>rx \in I</math>" با "<math>xr \in I</math>" تعریف می‌شود. یک '''ایده‌آل دوسویه''' ایده‌آل چپی است که هم‌زمان یک ایده‌آل راست هم باشد. برخی مواقع به ایده‌آل دو سویه صرفاً "ایده‌آل" گویند.

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{Refbegin}}
* [[M. F. Atiyah|Atiyah, M. F.]] and [[Ian G. Macdonald|Macdonald, I. G.]], ''[[Introduction to Commutative Algebra]]'', Perseus Books, 1969, {{ISBN|0-201-00361-9}}
* {{Cite book|last=Lang|first=Serge|authorlink=Serge Lang|title=Undergraduate Algebra|edition=Third|publisher= Springer-Verlag |isbn=978-0-387-22025-3|year=2005|place=|ref=harv|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
* [[Michiel Hazewinkel]], Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. ''Algebras, rings and modules''. Volume 1. 2004. Springer, 2004. {{ISBN|1-4020-2690-0}}
* {{Citation|last1=Milnor|first1=John Willard|author1-link=John Milnor|title=Introduction to algebraic K-theory|publisher=[[Princeton University Press]]|location=Princeton, NJ|mr=0349811|year=1971|zbl=0237.18005|series=Annals of Mathematics Studies|volume=72}}{{Refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:ایده‌آل‌ها]]
[[رده:جبر جابجایی]]
[[رده:ساختارهای جبری]]
[[رده:نظریه جبری اعداد]]