نمایش مبدأ برای انتگرال لبگ

[[پرونده:Integral-area-under-curve.svg|جایگزین=|بندانگشتی|انتگرال یک تابع مثبت را می‌توان به صورت مساحت زیر نمودار تفسیر کرد.]]
در [[ریاضیات]]، [[انتگرال]] یک تابع نامنفی تک متغیره را می‌توان در ساده‌ترین حالت، [[مساحت]] بین نمودار [[تابع]] و محور ایکس‌ها در نظر گرفت. '''انتگرال لبگ''' مفهوم انتگرال‌گیری را به دسته بزرگتری از توابع گسترش می‌دهد. همچنین این نوع انتگرال‌گیری دامنه ای که این توابع بر روی آن‌ها انتگرال‌گیری می‌شوند را نیز گسترش می‌دهند.در روش انتگرال‌گیری ریمان، بازه‌های انتگرال‌پذیری به تعدادی متناهی زیربازه تقسیم می‌شد در روش لبگ به مجموعه‌های کلی‌تری به نام مجموعه‌های اندازه‌پذیر تقسیم می‌شوند.

خیلی قبل‌تر از [[سده ۲۰ (میلادی)|قرن بیستم]]، ریاضیدانان می‌دانستند که برای توابع نامنفی که نمودار آن به اندازه کافی هموار باشد، مثل [[تابع پیوسته|توابع پیوسته]] بر روی [[بازه]]‌های کراندار بسته، مساحت زیر نمودار را می‌توان با کمک روش‌های تقریب زدن با چند ضلعی‌ها حساب کرد. با این حال همچنان که توجهات بیشتری به سمت توابع نامنظم‌تر جلب شد (به عنوان مثال توابعی که از فرایند حد‌گیری در [[نظریه احتمالات|نظریه احتمال]] [[آنالیز ریاضی]] به‌وجود می‌آیند)، بیش از پیش مشخص شد که برای تعریف انتگرال‌گیری از چنین توابعی، نیاز به تکنیک‌های تقریب محتاطانه‌تری وجود دارد. همچنین ممکن است بخواهیم بر روی فضاهایی کلی‌تر از [[خط حقیقی]] انتگرال‌گیری کنیم. انتگرال لبگ تجریدهای لازم برای این کار مهم را فراهم می‌آورد.

انتگرال لبگ نقش مهمی را در نظریه احتمالات، آنالیز حقیقی، و بسیاری دیگر از زمینه‌های علوم ریاضی بازی می‌کند. این انتگرال به افتخار هنری لبگ (۱۸۷۵–۱۹۴۱) نامگذاری شده که آن را در ۱۹۰۴ معرفی کرد.{{harv|Lebesgue|1904}}

اصطلاح ''انتگرال‌گیری لبگ'' می‌تواند هم به معنی نظریه کلی انتگرال‌گیری توابع با توجه به یک اندازه کلی معرفی شده توسط لبگ باشد، یا در حالت خاص‌تر همان انتگرال‌گیری توابع روی بخشی از [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] با توجه به [[اندازه لبگ]].

== معرفی ==
انتگرال یک تابع مثبت مانند <math>\mathrm{f}</math> بین کران های <math>\mathrm{a}</math> و <math>\mathrm{b}</math> را می‌توان به عنوان مساحت زیر نمودار <math>\mathrm{f}</math> تفسیر کرد. فهم این مطلب برای توابع ساده ای چون چند جمله ای‌ها راحت است، اما در مورد توابع نامتعارف تر چطور؟ در کل، برای چه دسته از توابعی «مساحت زیر نمودار» معنا دارد؟ جواب این سؤال اهمیت نظری و عملی بالایی دارد.

ریاضیدانان در قرن نوزدهم میلادی تلاش کردند تا حساب انتگرالی را به عنوان بخشی از حرکت عمومی به سمت دقت و استحکام ریاضیاتی (Rigor) بر روی بنیان های مستحکمی بنا کنند. [[انتگرال ریمان–استیلتیس|انتگرال ریمانی]] که توسط [[برنهارت ریمان|برنهارد ریمان]] (۱۸۲۶-۱۸۶۶) پیشنهاد شد، یک تلاش موفقیت آمیز گسترده در جهت ارائه چنین بنیانی بود. تعریف ریمان با ساخت دنباله ای از مساحت‌ها شروع می کند که به راحتی قابل محاسبه اند و جمعشان به انتگرال تابع داده شده همگرا می باشد. این تعریف ازین لحاظ موفق است که برای بسیاری از مسائل از قبل حل شده جواب مورد انتظار را ایجاد کرده و نتایج مفیدی را برای بسیاری از مسائل دیگر ارائه می کند.

با این حال، انتگرال ریمانی به خوبی با دنباله توابع برهمکنش ندارد و تحلیل چنین دنباله هایی را دچار مشکل می کند. این نکته به عنوان مثال در مطالعه [[سری فوریه]]، [[تبدیل فوریه]] و دیگر موضوعات اهمیت دارد. انتگرال لبگ قادر است تا توصیف کند چه زمان و چگونه امکان حد گیری زیر نماد انتگرال گیری ممکن است (این حد گیری از طریق قضایای قدرتمند همگرایی یکنواخت و همگرایی تسلطی انجام می شود).

در حالی که انتگرال ریمانی مساحت زیر نمودار را از طریق مستطیل های عمودی محاسبه می کند، تعریف لبگ ورقه های افقی را در نظر می گیرد که لزوماً مستطیل نیستند و انعطاف بیشتری دارند. به همین دلیل تعریف لبگ امکان محاسبه انتگرال را برای دسته گسترده تری از توابع فراهم می آورد. به عنوان مثال، [[تابع دیریکله]] که برای [[عدد گنگ|اعداد گنگ]] ۰ و برای [[عدد گویا|اعداد گویا]] ۱ است، دارای انتگرال لبگ است اما انتگرال ریمان ندارد. به علاوه، انتگرال لبگ این تابع صفر است که با شهود هم مطابقت دارد، چرا که شهود به ما می گوید هنگامی که عددی از اعداد حقیقی را انتخاب می کنیم احتمال گویا بودنش صفر است.

لبگ رهیافت خود به انتگرال گیری را در نامه ای به پاول مونتل اینگونه بیان می دارد:

{{گفتاورد|من باید مبلغ خاصی را پرداخت کنم، مبلغی که آن را در جیب خودم جمع آوری نمودم. اسکناس ها و سکه ها را به ترتیبی که در جیبم می یابم از آن خارج کرده و آن ها را به طلبکار می دهم تا کل مبلغ تصفیه شود. این توصیف انتگرال ریمانی بود. اما می توانستم به روش دیگری هم جلو روم. بعد از این که تمام پول خود را از جیبم در آوردم اسکناس ها و سکه ها را به گونه ای مرتب می کنم تا مطابق با مبلغ بدهی ام شود و آنگاه کپه های مختلف از آن ها را یکی پس از دیگری به طلبکارم پرداخت می کنم. این روش انتگرال گیری من است.|sign=<small>''Source'': {{harv|Siegmund-Schultze|2008}}</small>}}

دیدگاه مورد نظر او این است که باید بتوان مقادیر تابع را آزادانه بازآرایی کرد، در حالی که مقدار انتگرال هم حفظ شده و تغییری نکند. فرایند بازآرایی قادر به تبدیل یک تابع آسیب‌شناختی (پاتولوژیکال، غیر عادی) به تابعیست که از نقطه نظر انتگرال گیری به میزان کافی "خوب" بوده و ازین رو امکان می دهد که بدین طریق بتوانیم از توابع آسیب‌شناختی بهتر انتگرال گیری کنیم.

=== تفسیر شهودی ===
[[پرونده:RandLintegrals.png|بندانگشتی|انتگرال گیری ریمان-داربوکس (به رنگ آبی) و انتگرال گیری لبگ (به رنگ قرمز).]]
برای این که به رهیافت های مختلف انتگرال گیری شهود پیدا کنیم، اجازه دهید تا تصور کنیم که می خواهیم حجم یک کوه (بالاتر از سطح دریا) را بدست آوریم.

;رهیافت ریمان-داربوکس: قاعده کوه را به مشبکه ای با مربع هایی که اضلاع یک متری دارند تقسیم بندی کنید. ارتفاع کوه را در مرکز هر مربع بدست آورید. آنگاه حجم یکی از مربع های این مشبکه تقریباً <math>1m^2\times h</math> این است که در آن <math>h</math> ارتفاع آن مربع خاص می باشد، چنان که حجم کل برابر ۱ [[متر مربع]] ضرب در جمع کل ارتفاع مربع ها خواهد بود. 

;رهیافت لبگ: یک نگاشت [[خط تراز]] از کوه رسم کنید، به گونه ای که خطوط تراز مجاور اختلاف ارتفاع یک متری از هم داشته باشند. حجمی که یک تراز خاص آن را در بر می گیرد تقریباً برابر <math>1m^2\times A</math> است که در آن <math>A</math> مساحت تراز مورد نظر است، چنان که حجم کل برابر جمع کل مساحت تراز ها ضرب در ۱ متر می باشد.

فولند تفاوت بین رهیافت انتگرال گیری ریمانی و لبگ را اینگونه بیان می دارد: "برای محاسبه انتگرال ریمانی <math>f</math>، دامنه <math>[a, b]</math> به زیر بازه هایی افراز می شود"، در حالی که در انتگرال لبگ، "در عمل برد <math>f</math> افراز می شود."<ref name="Folland">{{cite book |first=Gerald B. |last=Folland |title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications |location= |publisher=Wiley |year=1984 |page=56 |url=https://books.google.com/books?id=AnIPAQAAMAAJ&pg=PA56}}</ref>

=== به سوی یک تعریف صوری ===
[[پرونده:Horizontal slice for Lebesgue.svg|بندانگشتی|یک تابع اندازه پذیر همراه با مجموعه <math>\{x|f(x)>t\}</math> (روی محور <math>x</math>) نشان داده شده. انتگرال لبگ به وسیله برش در طول محور <math>y</math> با استفاده از اندازه لبگ 1-بعدی برای اندازه گیری "عرض" برش‌ها بدست آمده است.]]
برای تعریف انتگرال لبگ، نیازمند به مفهوم صوری اندازه هستیم، که می توان گفت به طور کلی و نادقیق به هر مجموعه <math>A</math> از اعداد حقیقی، عدد نامنفی <math>\mu(A)</math> را که نشان دهنده "اندازه" <math>A</math> است را نسبت می دهد. این مفهوم "اندازه" باید با مفهوم رایج طول یک بازه یا اجتماع مجزای بازه ها سازگاری داشته باشد. فرض کنید که <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}</math> یک [[تابع حقیقی]] مقدار نا-منفی باشد. با استفاده از فلسفه‌ی "افراز در برد <math>f</math>"، انتگرال <math>f</math> باید برابر با جمع <math>t</math> روی مساحت مقدماتی مشمول در نوار افقی باریک بین <math>y=t</math> و <math>y=t-dt</math> باشد.

این مساحت مقدماتی همان مقدار زیر است:

:<math>\mu \left (\{x\mid f(x)>t\} \right ) \,dt.</math>

فرض کنید:

:<math>f^*(t)=\mu \left (\{x\mid f(x)>t\} \right ).</math>

آنگاه انتگرال لبگ <math>f</math> به این صورت تعریف خواهد شد:<ref>{{harvnb|Lieb|Loss|2001}}</ref>

:<math>\int f\,d\mu = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>

که در آن انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمانی ناسره معمولیست. توجه کنید که <math>f^*</math> یک تابع نا-منفی نزولیست و لذا یک انتگرال ریمانی ناسره خوش تعریف دارد که مقدار آن در بازه <math>[0, \infty]</math> قرار می گیرد. برای دسته مناسبی از توابع (توابع اندازه پذیر)، این منجر به تعریف انتگرال لبگ می شود. 

یک تابع اندازه پذیر <math>f</math> (که لزوماً مثبت نیست) لبگ انتگرال پذیر است اگر مساحت بین نمودار <math>f</math> و محور <math>x</math> متناهی باشد:

:<math>\int |f|\,d\mu < + \infty.</math>

در این حالت، همانند حالت ریمانی، انتگرال برابر تفاضل بین مساحت بالای محور <math>x</math> و مساحت زیر محور <math>x</math> خواهد بود:

:<math>\int f \,d\mu = \int f^+ \,d\mu - \int f^- \,d\mu</math>

که در آن <math>f=f^+-f^-</math> تجزیه <math>f</math> به تفاضل دو تابع نامنفی است که به صورت زیر می باشند:

:<math>\begin{align}
 f^+(x)&=\max\{f(x),0\} &=&\begin{cases}
               f(x), & \text{if } f(x)> 0, \\
               0, & \text{otherwise}
             \end{cases}\\
 f^-(x)&=\max\{-f(x),0\} &=&\begin{cases}
               -f(x), & \text{if } f(x) <0, \\
               0, & \text{otherwise.}
             \end{cases}
\end{align}</math>

== قضیه همگرایی یکنوای لبگ ==
این قضیه بیان می‌کند، اگر سری صعودی از توابع اندازه‌پذیر موجود باشد، آنگاه انتگرال حد این توابع برابر با حد انتگرال تابعی است که به وسیله‌ی سری صعودی تقریب زده شده است.

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
==فیلم و انیمشن در این موضوع==
https://www.aparat.com/video/video/embed/videohash/PZNcW/vt/frame تفاوت انتگرال لبگ و ریمان  
 
https://www.aparat.com/video/video/embed/videohash/M397b/vt/frame چند مثال در مورد اانتگرال لبگ

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|2}}
* {{cite book|last=Bartle|first=Robert G.|title=The elements of integration and Lebesgue measure|url=https://archive.org/details/elementsofintegr0000bart|series=Wiley Classics Library|publisher=John Wiley &amp; Sons Inc.|location=New York|year=1995|pages=xii+179|isbn=0-471-04222-6|nopp=true|mr=1312157}}
* {{cite book|last=Bauer|first=Heinz|title=Measure and Integration Theory|url=https://archive.org/details/measureintegrati00baue_515|series=De Gruyter Studies in Mathematics 26|publisher=De Gruyter|location=Berlin|year=2001|page=[https://archive.org/details/measureintegrati00baue_515/page/n247 236]|isbn=978-3-11-016719-1|nopp=true}}
* {{cite book|last=Bourbaki|first=Nicolas|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian|series=Elements of Mathematics (Berlin)|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=2004|pages=xvi+472|isbn=3-540-41129-1|nopp=true|mr=2018901}}
* {{cite book|last=Dudley|first=Richard M.|title=Real analysis and probability|series=The Wadsworth &amp; Brooks/Cole Mathematics Series|publisher=Wadsworth &amp; Brooks/Cole Advanced Books &amp; Software|location=Pacific Grove, CA|year=1989|pages=xii+436|isbn=0-534-10050-3|nopp=true|mr=982264}} Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
* {{cite book|last=Folland|first=Gerald B.|title=Real analysis: Modern techniques and their applications|url=https://archive.org/details/realanalysismode0000foll_q2y3|series=Pure and Applied Mathematics (New York)|edition=Second|publisher=John Wiley &amp; Sons Inc.|location=New York|year=1999|pages=xvi+386|isbn=0-471-31716-0|nopp=true|mr=1681462}}
* {{cite book|last=Halmos|first=Paul R.|authorlink=Paul Halmos|title=Measure Theory|url=https://archive.org/details/dli.ernet.233649|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.|location=New York, N. Y.|year=1950|pages=xi+304|mr=0033869}} A classic, though somewhat dated presentation.
* {{springer|title=Lebesgue integral|id=p/l057860}}
* {{Cite journal|last=Lebesgue|first=Henri|authorlink=Henri Lebesgue|year=1904|title=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives|url=https://archive.org/details/leonssurlintgra00lebegoog|publisher=Gauthier-Villars|publication-place=Paris|postscript=<!--None-->|ref=harv}}
* {{cite book|last=Lebesgue|first=Henri|authorlink=Henri Lebesgue|title=Oeuvres scientifiques (en cinq volumes)|publisher=Institut de Mathématiques de l'Université de Genève|location=Geneva|year=1972|page=405|language=French|mr=0389523}}
* {{cite book|last1=Lieb|first1=Elliott|authorlink1=Elliott H. Lieb|last2=Loss|first2=Michael|author2-link=Michael Loss|title=Analysis|year=2001|edition=2nd|publisher=[[American Mathematical Society]]|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=14|isbn=978-0-8218-2783-3}}
* {{cite book|last=Loomis|first=Lynn H.|title=An introduction to abstract harmonic analysis|url=https://archive.org/details/introductiontoab031610mbp|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.|location=Toronto-New York-London|year=1953|pages=x+190|mr=0054173}} Includes a presentation of the Daniell integral.
* {{cite book|last=Munroe|first=M. E.|title=Introduction to measure and integration|publisher=Addison-Wesley Publishing Company Inc.|location=Cambridge, Mass.|year=1953|pages=x+310|mr=0053186}} Good treatment of the theory of outer measures.
* {{cite book|last=Royden|first=H. L.|title=Real analysis|edition=Third|publisher=Macmillan Publishing Company|location=New York|year=1988|pages=xx+444|isbn=0-02-404151-3|mr=1013117}}
* {{cite book|last=Rudin|first=Walter|authorlink=Walter Rudin|title=Principles of mathematical analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|edition=Third|series=International Series in Pure and Applied Mathematics|publisher=McGraw-Hill Book Co.|location=New York|year=1976|pages=x+342|mr=0385023}} Known as ''Little Rudin'', contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as [[Fubini's theorem]].
* {{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Real and complex analysis|publisher=McGraw-Hill Book Co.|location=New York|year=1966|pages=xi+412|mr=0210528}} Known as ''Big Rudin''. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
* {{Cite journal|last=Saks|first=Stanisław|author-link=Stanislaw Saks|year=1937|title=Theory of the Integral|url=https://archive.org/details/theoryoftheinteg032192mbp|series=[http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10&jez=pl Monografie Matematyczne]|edition=2nd|publisher=G.E. Stechert & Co.|volume=7|pages=VI+347|jfm=63.0183.05|zbl=0017.30004|postscript=<!--None-->|place=[[Warszawa]]- Lwów}}. English translation by [[Laurence Chisholm Young]], with two additional notes by [[Stefan Banach]].
* {{cite book|last=Shilov|first=G. E.|last2=Gurevich|first2=B. L.|title=Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman|url=https://archive.org/details/integralmeasured0000shil|series=Dover Books on Advanced Mathematics|publisher=Dover Publications Inc.|location=New York|year=1977|pages=xiv+233|isbn=0-486-63519-8|nopp=true|mr=0466463}} Emphasizes the [[Daniell integral]].
* {{citation|last=Siegmund-Schultze|first=Reinhard|chapter=Henri Lebesgue|title=Princeton Companion to Mathematics|editors=Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press}}.
* {{cite book|last=Teschl|first=Gerald|authorlink=Gerald Teschl|title=Topics in Real and Functional Analysis|publisher=(lecture notes)|url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html}}
* {{cite book|last=Yeh|first=James|title=Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2nd. Edition Paperback|publisher=World Scientific Publishing Company Pte. Ltd.|location=Singapore|year=2006|page=760|isbn=978-981-256-6}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}
* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[[:en:Lebesgue_integration|Lebesgue Integration]]». در دانشنامهٔ [[ویکی‌پدیای انگلیسی]].

{{انتگرال‌ها}}
[[رده:نظریه اندازه]]