نمایش مبدأ برای انتگرال دوهامل

در تئوری ارتعاشات، انتگرال دوهامل محاسبه پاسخ سیستم‌های خطی و سازه‌ها با زمان دلخواه می‌باشد

=== پیش زمینه ===
پاسخ خطی با viscously damped یک سیستم یک درجه آزادی (SDOF) سیستم به زمان‌های مختلف مکانیکی تحریک (t)p است که با پیروی مرتبه دوم [[معادله دیفرانسیل معمولی]] نتیجه زیر حاصل می‌شود

<math>m\frac{{{d}^{2}}x(t)}{d{{t}^{2}}}+c\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=p(t)
</math>

که در آن جرم به صورت معادل می‌باشد و x نیز مخفف دامنه ارتعاش، t زمان، c ضریب میرایی و k نیز [[سختی]] سیستم است.

اگر یک سیستم در ابتدا در حالت تعادل باشد و موقعیت از آن جایی که پس از اعمال یک ضربه واحد به عنوان مثال در t=۰ به عنوان p(t) در معادله بالا اعمال شود حاصل یک [[تابع  دلتای دیراک]] <math display="inline">x(0)=dx/dt =0
</math>  سپس با حل معادله دیفرانسیل یک راه حل شناخته شده به عنوان تابع [[پاسخ ضربه]] واحد به ما می‌دهد<math display="block">h(t)=\{_{0,t<0}^{\frac{1}{m{{\omega }_{d}}}\exp (-\zeta {{\omega }_{d}}t),t>0}</math>

که در آن <math>\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}</math> به نام [[:en:Damping|نسبت میرایی]] سیستم <math>{{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> طبیعی [[:en:Angular_frequency|فرکانس زاویه ای]] از undamped سیستم (زمانی که c=۰) و <math>{{\omega }_{d}}={{\omega }_{n}}\sqrt{1-{{\zeta }^{2}}}</math> این [[:en:Angular_frequency|فرکانس زاویه ای]] که اثر نوسانات به حساب گرفته شده است (زمانی که <math>c\neq0</math>). اگر ضربه اتفاق می‌افتد در <math>t=\tau</math>

که به جای t=۰ یعنی دلتا  <math>p(t)=\delta(t-\tau)</math>  و طیف پاسخ ضربه نیز:

<math>h(t - \tau ) = \frac{1}{{m{\omega _d}}}\exp ( - \zeta {\omega _n}(t - \tau ))*\sin [{\omega _d}(t - \tau )]</math>

=== نتیجه‌گیری ===
در مورد تحریک (t)p به عنوان ا[[:en:Superposition_principle|صل برنهی (superposition)]] به نتیجه زیر می‌رسد:

<math>p(t) \approx \sum\limits_{\tau  < t} {p(\tau )\Delta \tau .\delta (t - \tau )}

 </math>

سپس معلوم است که از سیستم خطی است که پاسخ کلی را می‌توان به صورت ترکیبی از یک سری از ضربه‌ها نوشت

<math>x(t)\approx \sum\limits_{\tau <t}{p(\tau )\Delta \tau .h(t-\tau )}</math>

زمانی که <math>\Delta\tau\rightarrow0</math> به جای جمع زدن باید [[انتگرال‌گیری]] انجام شود پس

<math>x(t)=\int_{0}^{t}{p(\tau)h(t-\tau)\ d\tau}</math>

با جایگزین <math>h(t-\tau)</math> ، معادله انتگرال دوهامل نتیجه می‌دهد

<math>x(t) = \frac{1}{{m{\omega _d}}}\int\limits_0^t {p(\tau ).\exp (( - \zeta } {\omega _n}(t - \tau )).\sin [{\omega _d}(t - \tau )]</math>

== اثبات ریاضی ==
معادله تعادل دینامیکی SDOF در حالت سیستم بدون بارگزاری می‌باشد

<math> \frac{{{d}^{2}}x(t)}{d{{t}^{2}}}+\bar{c}\frac{dx(t)}{dt}+\bar{k}x(t)=0


</math> که در آن پارامترهای <math> \bar{c}=\frac{c}{m}

</math>  و <math> \bar{k}=\frac{k}{m}

</math>  می‌باشد

که در نهایت حل معادله به صورت زیر بیان می‌شود

<math> {x_h}(t) = C{}_1.\exp (( - \frac{1}{2}(\widetilde c + \sqrt {{{\widetilde c}^{ - 2}} - 4*\widetilde k} )t) + C{}_2.\exp (( - \frac{1}{2}( - \widetilde c + \sqrt {{{\widetilde c}^{ - 2}} - 4*\widetilde k} )t)

</math>

و با جایگزینی

<math>A=\frac{1}{2}(\widetilde{c}+\sqrt{{{\widetilde{c}}^{-2}}-4*\widetilde{k}}</math>

<math>B=\frac{1}{2}(\widetilde{c}+\sqrt{{{\widetilde{c}}^{-2}}+4*\widetilde{k}},</math>

<math>P=\sqrt{{{\widetilde{c}}^{-2}}-4*\widetilde{k}}</math>

<math>P=B-A</math>

منجر به:

<math> {{x}_{h}}(t)=C{}_{1}.\exp (-B.t)+C{}_{2}.\exp (-A.t)

</math>

یک راه حل جزئی از غیرهمگن معادله <math>\frac{{{d}^{2}}x(t)}{d{{t}^{2}}}+\bar{c}\frac{dx(t)}{dt}+\bar{k}x(t)=\bar{p}(t)</math>  که در آن<math> \bar{p}(t)=\frac{p(t)}{m}

</math>  می‌تواند توسط روش لاگرانژی برای حل جزئی [[:en:Ordinary_differential_equation|معادلات دیفرانسیل ناهمگن]] به دست آید.

راه حل به صورت

<math> {{x}_{p}}(t)=\frac{\int{\widetilde{P}(t).\exp (A.t)dt.\exp (-A.t)-\int{\widetilde{P}(t).\exp (B.t)dt.\exp (-B.t)}}}{P}

</math>

با جایگزاری <math> \int{\widetilde{P}(t).\exp (A.t)dt{{|}_{t=z}}}={{Q}_{z}}

</math> و<math> \int{\widetilde{P}(t).\exp (B.t)dt{{|}_{t=z}}}={{R}_{z}}

</math>  که در آن انتگرال <math> \int {x(t)dt{{|}_{t=z}}}

</math> است از <math> x(t)

</math> در زمان t=z می‌باشد

<math> {{x}_{p}}(t)=\frac{{{Q}_{t}}.\exp (-A.t)-{{R}_{t}}.\exp (-B.t)}{P}

</math>

در نهایت معادله غیرهمگن به صورت:

<math> x(t)={{x}_{h}}(t)+{{x}_{p}}(t)=C{}_{1}.\exp (-B.t)+C{}_{2}.\exp (-A.t)+\frac{{{Q}_{t}}.\exp (-A.t)-{{R}_{t}}.\exp (-B.t)}{P}

</math>

سپس با مشتق‌گیری نسبت به زمان به عبارت زیر می‌رسد:

<math> \frac{dx}{dt}=-A.C{}_{2}.\exp (-A.t)-B.C{}_{2}.\exp (-A.t)+\frac{1}{P}.[-A.{{\dot{Q}}_{t}}.\exp (-A.t)-A{{Q}_{t}}.\exp (-A.t)-{{\dot{R}}_{t}}\exp (-B.t)+B{{R}_{t}}.\exp (-B.t)]

</math>

که در آن  <math> \dot{Q}_{t}=p(t).\exp (At)

</math> و <math> \dot{R}_{t}=p(t).\exp (Bt)

</math>  به منظور پیدا کردن پارامترهای <math> C_1,C_2

</math> شرایط اولیه را اعمال می‌شود.

<math> C{}_{1}+C{}_{2}=\frac{{{R}_{0}}-{{Q}_{0}}}{P}\Rightarrow x(t){{|}_{t=0}}=0

</math>

<math> C{}_{1}+C{}_{2}+\frac{-{{R}_{0}}.1+{{Q}_{0}}.1}{P}=0

</math>

<math> \frac{dx}{dt}{{|}_{t=0}}=0:-A.C{}_{2}-B.C{}_{1}+\frac{1}{P}.[-A.{{Q}_{0}}+B.{{R}_{0}}]=0

</math>

<math> [A.C{}_{2}+B.C{}_{1}=\frac{1}{P}.[-A.{{Q}_{0}}+B.{{R}_{0}}]

</math>

در حال حاضر ترکیب هر دو شرط اولیه سیستم معادلات را می‌دهد:

<math> C{}_{1}+C{}_{2}=\frac{{{R}_{0}}-{{Q}_{0}}}{P}

</math>

<math> [A.C{}_{2}+B.C{}_{1}=\frac{1}{P}.[-A.{{Q}_{0}}+B.{{R}_{0}}]

</math>

<math> C{}_{1}=\frac{{{R}_{0}}}{P}

</math> و <math> C{}_{2}=\frac{-{{Q}_{0}}}{P}

</math>

با جایگزاری <math> C_1,C_2

</math> در معادلات بالا مقدار x(t) به دست می‌آید.

<math> x(t)=\frac{{{Q}_{t}}-{{Q}_{0}}}{P}.\exp (-A.t)-\frac{{{R}_{t}}-{{R}_{0}}}{P}.\exp (-B.t)

</math>

با قرار دادن <math> {{R}_{t}}-{{R}_{0}}

</math> و<math> {{Q}_{t}}-{{Q}_{0}}

</math>  (تفاوت شکل‌های هندسی دز زمان صفر و t) با [[انتگرال|انتگرال معین]] توسط متغیر <math> \tau

</math> به معادله زیر دست پیدا می‌کند.

<math> x(t)=\frac{1}{P}[\int_{0}^{t}{\dot{p}(\tau ).\exp (A\tau )d\tau .}\exp (A\tau )-\int_{0}^{t}{\dot{p}(\tau ).\exp (B\tau )d\tau .}\exp (B\tau )

</math>

در آخر با جایگزین ،<math> k={{\omega }^{2}}m

</math> ، <math> c=2\zeta \omega m

</math> ، بر این اساس <math> \overline{k}={{\omega }^{2}}

</math> ، <math> \overline{c}=2\zeta \omega

</math>  که در آن <math> \zeta <1

</math>  :

<math> A=\zeta \omega -{{\omega }_{d}}i

</math> , <math> B=\zeta \omega +{{\omega }_{d}}i

</math> , <math> P=2{{\omega }_{d}}i

</math> , در جایی که <math> {\omega _d} = \omega .\sqrt {1 - {\zeta ^2}}

</math> است.

جایگزین این عبارت در راه حل کلی، با قرار دادن شرایط اولیه و با استفاده از [[فرمول اویلر]] برای [[تابع نمایی|توابع نمایی]] منجر به ضوابط کلی و اصلی دوهامل (duhamel  )  می‌شود

<math> x(t)=\frac{1}{{{\omega }_{d}}}[\int_{0}^{t}{\dot{p}(\tau ).\exp (-\zeta \omega (t-\tau )).\sin [{{\omega }_{d}}(t-\tau )]d\tau .}

</math>

== منابع ==
* R. W. Clough, J. Penzien, <nowiki>''</nowiki>Dynamics of Structures<nowiki>''</nowiki>, Mc-Graw Hill Inc. , New York, 1975.
* Anil K. Chopra, <nowiki>''</nowiki>Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering<nowiki>''</nowiki>, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
* Leonard Meirovitch, <nowiki>''</nowiki>Elements of Vibration Analysis<nowiki>''</nowiki>, Mc-Graw Hill Inc. , Singapore, 1986
[[رده:انتگرال‌ها]]
[[رده:مکانیک]]
[[رده:تحلیل سازه‌ها]]