نمایش مبدأ برای انتگرال بیضوی

در [[انتگرال|حساب انتگرال]]، '''انتگرال بیضوی''' ({{lang-en|Elliptic integral}}) بدواً در ارتباط با مسئله طول کمان [[بیضی]] مطرح می‌شوند. این انتگرال‌ها را برای اولین بار {{پم|جیولیو فاگنانو|Giulio Fagnano}} و [[لئونارد اویلر]] بررسی کردند. [[ریاضیات]] نوین، انتگرال بیضوی را به عنوان هر [[تابع]] f که بتواند به شکل زیر بیان شود، تعریف می‌کند:
:{{وسط| <math> f(x) = \int_{c}^{x} R \left(t, \sqrt{P(t)} \right) \, dt, </math>}}
که در آن <math>R</math> [[تابع گویا]]ی دو آرگومان آن، <math>P</math> [[ریشه دوم]] یک [[چند جمله‌ای]] درجه سه یا چهار بدون ریشه‌های تکراری و <math>c</math> یک ثابت است.

در کل، انتگرال‌های بیضوی را نمی‌توان بر حسب [[توابع مقدماتی]] بیان کرد. استثناها برای این قاعده کلی وقتی است که <math>P</math> ریشه‌های تکراری دارد یا وقتی که <math>(R(x,y</math> شامل توان‌های فرد <math>y</math> نباشند. به هر حال، با فرمول تحویل مناسب، هر انتگرال بیضوی می‌تواند به شکلی که انتگرالهایی را روی توابع گویا و سه شکل متعارف (برای نمونه، انتگرالهای بیضوی نوع اول، دوم و سوم) دربر گیرد، درآید.

علاوه بر فرم‌هائی که در زیر داده شده‌اند، انتگرال‌های بیضوی نیز ممکن است به {{پم|صورت لژاندر|Legendre form}} و {{پم|صورت متقارن کارلسون|Carlson symmetric form}} بیان شوند. درک بیشتر از نظریه انتگرال بیضوی می‌تواند از طریق بررسی {{پم|نقشه‌نگاری شوارتز-کریستوفل|Schwarz–Christoffel mapping}} حاصل شود. از نظر تاریخی، [[توابع بیضوی]] به عنوان توابع معکوس انتگرال‌های بیضوی کشف شدند.

== نمادها ==
انتگرال‌های بیضوی اغلب به شکل توابعی با آرگومان‌های مختلف بیان می‌شوند. این آرگومان‌های مختلف کاملاً معادلند (انتگرال بیضوی مشابهی می‌دهند)، اما به علت ظاهر متفاوتشان گیج کننده اند. بیشتر متون با نقشه نام گذاری متعارف همراهند. پیش از تعریف انتگرال‌ها، قواعد نامگذاری آرگومان‌ها را مرور می‌کنیم:
* {{math|''α''}} [[برون‌مرکزی زاویه‌ای]]
* {{ریاضی|''k'' {{=}} sin ''α''}} مدول بیضوی یا [[برون‌مرکزی (هندسه)]]
* {{ریاضی|''m'' {{=}} ''k''<sup>2</sup> {{=}} sin<sup>2</sup> ''α''}} مشخصه (پارامتر)

توجه کنید که سه قرارداد بالا کاملاً توسط دیگری تعیین شده‌اند. با مشخص شدن یکی، دیگری نیز مشخص می‌گردد. انتگرالهای بیضوی نیز به آرگومان دیگری وابسته‌اند که می‌تواند با راه‌های مختلفی تعیین شود.

== انتگرال بیضوی ناقص نوع اول ==
انتگرال بیضوی ناقص نوع اول F به شکل زیر تعریف می‌شود:
:{{وسط| <math> F(\varphi,k) = F\left(\varphi \,|\, k^2\right) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac {d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.</math>}}

به‌طور یکسان، با استفاده از نمادنگاری در صورت [[کارل گوستاو یاکوب یاکوبی|یاکوبی]] قرار می‌دهیم:
{{ریاضی|''t'' {{=}} sin ''θ''}} و {{ریاضی|''x'' {{=}} sin ''φ''}}
سپس،
:{{وسط| <math> F(x ; k) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{\left(1 - t^2\right)\left(1 - k^2 t^2\right)}}.</math>}}

وقتی دانسته شده‌است که زمانی یک میله عمودی استفاده شود (|)، آرگومان بعد از میله عمودی پارامتر است (چنان‌که در بالا تعریف شد)؛ و وقتی بک اسلش (\) به کار رود، بعد از آن زاویه مدولار می‌آید. در این قرارداد، با نمادگذاری مستقیم وام گرفته شده از کتاب مرجع استانداردهای آبراموویتز و اشتگان (Abramowitz and Stegun). استفاده از؛ | \ در انتگرال‌های بیضوی متداول است.

:{{وسط| <math> F(\varphi, \sin \alpha) = F\left(\varphi \,|\, \sin^2 \alpha\right) = F(\varphi \setminus \alpha) = F(\sin \varphi ; \sin \alpha).</math>}}

== انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم ==
انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم <math>E</math> به این شکل است:
:{{وسط| <math> E(\varphi,k) = E\left(\varphi \,|\,k^2\right) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.</math>}}

به صورت معادل، با استفاده از نمادگذاری جایگزین (جانشانی) {{ریاضی|''t'' {{=}} sin ''θ''}} و {{ریاضی|''x'' {{=}} sin ''φ''}}

:{{وسط| <math> E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\, dt.</math>}}

نسبت‌های اضافی شامل زیر می‌شوند:
:{{وسط| <math>E\bigl(\operatorname{sn}(u ; k) ; k\bigr) = \int_0^u \operatorname{dn}^2 (w ; k) \, dw = u - k^2 \int_0^u \operatorname{sn}^2 (w ; k) \, dw = \left(1-k^2\right)u + k^2 \int_0^u \operatorname{cn}^2 (w ; k) \, dw.</math>}}

== انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم ==
انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم به این شکل است:

:{{وسط| <math> \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  \frac{1}{1-n\sin^2 \theta} \frac {d\theta}{\sqrt{1-\left(\sin\theta\sin \alpha\right)^2}}</math>}}

یا

:{{وسط| <math> \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2} \frac{dt}{\sqrt{\left(1-m t^2\right)\left(1-t^2\right)}}.</math>}}

یا

:{{وسط| <math> \Pi\bigl(n; \,\operatorname{am}(u;k); \,k\bigr) = \int_0^u \frac{dw} {1 - n \,\operatorname{sn}^2 (w;k)}.</math>}}

عدد n مشخصه نامیده می‌شود و هر مقداری را مستقل از دیگر آرگومانها می‌تواند بگیرد. توجه داشته باشید که به هر حال مقدار برای هر m نامحدود است.

== انتگرال بیضوی کامل نوع اول ==
[[پرونده:Mplwp complete ellipticKk.svg|بندانگشتی|300px|انتگرال بیضوی کامل نوع اول {{ریاضی|''K''(''k'')}}]]
انتگرال‌های بیضوی وقتی کامل خوانده می‌شوند که دامنه نصف پی (pi/2) و بنابراین x=۱ باشد. انتگرال بیضوی کامل نوع اول K می‌تواند به صورت زیر تعریف شود:

:{{وسط| <math>K(k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}},</math>}}

یا
:{{وسط| <math>K(k)=F\left(\tfrac{\pi}{2},k\right) = F\left(\tfrac{\pi}{2} \,|\, k^2\right) = F(1;k).</math>}}

این یک حالت خاص انتگرال بیضوی ناقص نوع اول است:

حالت خاص می‌تواند به شکل یک [[سری توانی]] بیان شود

:{{وسط| <math>K(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right)^2 k^{2n}=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \bigl(P_{2 n}(0)\bigr)^2 k^{2n},</math>}}

بر حسب {{پم|تابع فوق‌هندسی گاوس|Gauss hypergeometric function}}، انتگرال بیضوی کامل نوع اول می‌تواند به شکل

:{{وسط| <math>K(k)=\tfrac{\pi}{2} \,{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; 1; k^2\right).</math>}}
بیان شود.

گاهی اوقات انتگرال بیضوی کامل نوع اول یک چهارم دوره (ربع دوره quarter period) نامیده می‌شود و می‌تواند بر حسب میانگین هندسی-حسابی محاسبه گردد.
:<math>K(k)=\frac{\frac{\pi}{2}}{\operatorname{agm}\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)}.</math>

مشتق انتگرال بیضوی کامل نوع اول:
:<math>\frac{d}{dk}\left(k\left(1-k^2\right)\frac{dK(k)}{dk}\right)=k K(k)</math>

== انتگرال بیضوی کامل نوع دوم ==
[[پرونده:Mplwp complete ellipticEk.svg|بندانگشتی|300px|گراف [[انتگرال کامل بیضوی نوع دوم]] <math>E(k)</math> در بازهٔ <math>[0, 1]</math> (مقادیر ممکن [[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزی]]).
مقدار محیط بیضی برابر است با حاصلضرب مقدار <math>E(k)</math> (محور عمودی) برای برون‌مرکزی بیضی (محور افقی، <math>k=e</math>) در چهار برابر نیم‌قطر بزرگ بیضی (<math>S(a,b)=4aE(e)</math>).]]
{{مرتبط|بیضی#محیط}}
از آن‌جا که [[عبارت فرم بسته|فرمولی با فرم بسته]] (مثل فرمول محیط دایره، که حالت خاص بیضی است) برای محیط بیضی وجود ندارد، مسئلهٔ بیان محیط دقیق بیضی منجر به ایجاد [[تابع بیضوی|توابع بیضوی]] شد که موضوعی مهم در ریاضیات و فیزیک است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref> برای محاسبه محیط بیضی، باید ابتدا [[انتگرال کامل بیضوی نوع دوم]] را محاسبه کرد. به این ترتیب محیط بیضی با نیم‌قطر بزرگ <math>a</math> و نیم‌قطر کوچک <math>b</math> برابر است با:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2002}}</ref>
:{{وسط|<math>S(a,b)=4aE(e)</math>،}}
که در آن <math>e</math> همان برون‌مرکزی (<math>\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math>) است و <math>E</math> عبارت است از:
:{{وسط|<math>E(e) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta</math>}}
محیط بیضی بر اساس انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را با استفاده از «سری گاوس-کومر»{{یادچپ| Gauss-Kummer series}} نیز می‌توان محاسبه کرد:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2002}}</ref>
:{{وسط|<math>p = \pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty} {1/2 \choose n}^2 h^{2n}</math>}}
:{{وسط|<math>= \pi(a+b)(1+ \frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{64} h^4+ \frac{1}{256} h^6 +...)</math>}}

== انتگرال بیضوی کامل نوع سوم ==
انتگرال بیضوی کامل نوع سوم می‌تواند به صورت زیر تعریف شود

:{{وسط|<math>\Pi(n,k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.</math>}}

توجه کنید که گاهی اوقات انتگرال بیضوی کامل نوع سوم با یک علامت معکوس در n تعریف می‌گردد، برای مثال

:{{وسط|<math>\Pi'(n,k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1+n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.</math>}}

[[مشتق جزئی|مشتقات جزئی]] انتگرال بیضوی کامل نوع سوم

:{{وسط|<math>\begin{align}
\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial n}&=\frac{1}{2\left(k^2-n\right)(n-1)}\left(E(k)+\frac{1}{n}\left(k^2-n\right)K(k)+\frac{1}{n}\left(n^2-k^2\right)\Pi(n,k)\right) \\[10px]

\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial k}&=\frac{k}{n-k^2}\left(\frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(n,k)\right)
\end{align}</math>}}

== جستارهای وابسته ==
* [[منحنی بیضوی]]
* [[تابع تتای رامانوجان]]

== منابع ==
{{یادداشت}}
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Elliptic_integral&oldid=855789940|عنوان = Elliptic integral|زبان =انگلیسی|بازیابی =۱۲ ژانویه ۲۰۱۹}}
{{چپ‌چین}}
* {{cite journal | first=B. C. | last=Carlson | year=1995 | journal=Numerical Algorithms | title=Numerical Computation of Real or Complex Elliptic Integrals | volume=10 | issue=1 | pages=13–26 | arxiv=math/9409227 | ref=harv| bibcode=1995NuAlg..10...13C | doi=10.1007/BF02198293}}
* {{dlmf|first=B. C.|last=Carlson|id=19}}
* {{cite book | url=http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf | title=Higher transcendental functions. Vol II |last=|first=| last2=Magnus | first2=Wilhelm | last3=Oberhettinger | first3=Fritz | last4=Tricomi | first4=Francesco G. | publisher=McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London | year=1953 |isbn=|location=|pages=| mr=0058756 | ref=harv|via=| last1=Erdélyi | first1=Arthur | author2-link=Wilhelm Magnus}}
* {{cite book |author-first1=Izrail Solomonovich |author-last1=Gradshteyn |author-link1=Izrail Solomonovich Gradshteyn |author-first2=Iosif Moiseevich |author-last2=Ryzhik |author-link2=Iosif Moiseevich Ryzhik |author-first3=Yuri Veniaminovich |author-last3=Geronimus |author-link3=Yuri Veniaminovich Geronimus |author-first4=Michail Yulyevich |author-last4=Tseytlin |author-link4=Michail Yulyevich Tseytlin |author-first5=Alan |author-last5=Jeffrey |editor-first1=Daniel |editor-last1=Zwillinger |editor-first2=Victor Hugo |editor-last2=Moll |translator=Scripta Technica, Inc. |title=Table of Integrals, Series, and Products |publisher=[[Academic Press, Inc.]] |date=2015 |orig-year=October 2014 |edition=8 |language=English |isbn=978-0-12-384933-5 |lccn=2014010276 <!-- |url=https://books.google.com/books?id=NjnLAwAAQBAJ |access-date=2016-02-21 --> |title-link=Gradshteyn and Ryzhik |chapter=8.1. | ref=harv}}
* {{cite book | first=Alfred George | last=Greenhill | author-link=Alfred George Greenhill | url=https://archive.org/details/applicationselli00greerich | title=The applications of elliptic functions | location=New York |publisher=Macmillan | year=1892 | ref=harv}}
* {{cite book | last=Hancock | first=Harris | author-link=Harris Hancock | year=1910 | title=Lectures on the Theory of Elliptic Functions | url=https://archive.org/details/lecturestheorell00hancrich |  publisher=J. Wiley & sons | location=New York | ref=harv}}
* {{cite book | first=Louis V. | last=King | url=https://archive.org/details/onthenumerical032686mbp | title=On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals | publisher=Cambridge University Press | year=1924 | ref=harv}}
* {{Citation | last1=Press | first1=W. H. | last2=Teukolsky | first2=S. A. | last3=Vetterling | first3=W. T. | last4=Flannery | first4=B. P. | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=309 | ref=harv}}

{{پایان چپ‌چین}}
{{-}}

== پیوند به بیرون ==
{{انبار-رده}}
{{ناوبری منحنی‌های جبری}}
[[رده:توابع بیضوی]]
[[رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص]]