نمایش مبدأ برای افت نمایی

{{جعبه عدد e}}
[[پرونده:Plot-exponential-decay.svg|بندانگشتی|۲۶۰ پیکسل|به بالا=۱٫۵|یک معادله با افت نمایی. ضریب‌های افت بزرگتر این معادله تخریبی را سریع‌تر می‌سازند. این نمودار ضریب افت ({{mvar|λ}}) ۲۵, ۵, ۱, ۱/۵, و ۱/۲۵ برای {{mvar|x}} از ۰ تا ۵ است.]]
[[پرونده:Exponential Decay of Nuclei Depending on Decay Constant-de.svg|بندانگشتی|۲۶۰ پیکسل|نمودار واپاشی هسته‌ای با ضریب واپاشی]]

'''افت نمایی''' {{انگلیسی|Exponential decay}} برای [[کمیت|کمیتی]] به کار می‌رود که با نرخی [[تناسب (ریاضیات)|متناسب]] به مقدار کنونی‌اش کاهش می‌یابد. به‌طور نمادین، این فرایند می‌تواند از طریق [[معادله دیفرانسیل]] بیان شود. که در آن N کمیت است و λ (لاندا) یک نرخ مثبت به نام '''ثابت افت نمایی'''، '''ثابت فروپاشی'''،<ref>{{harvtxt|Serway|Moses|Moyer|1989|p=384}}</ref> '''ثابت ترخ'''،<ref>{{harvtxt|Simmons|1972|p=15}}</ref> یا '''ثابت تبدیل''':<ref>{{harvtxt|McGraw-Hill|2007}}</ref>

<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N</math>

جواب این معادله (به مشتق زیر مراجعه کنید) این است:

<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}, </math>

که در آن <small><math>N(t)
</math></small> کمیتی در زمان t است، <small><math display="inline"> N_0=N(0)
</math></small> کمیت اولیه است، یعنی کمیت در زمان <small><math>t=0</math></small>.

== اندازه‌گیری نرخ افت ==
=== طول‌عمر متوسط ===
اگر کمیت افت‌کننده، N(t)، تعداد عناصر گسسته در یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]] معین باشد، می‌توان میانگین مدت زمانی را که یک عنصر در مجموعه باقی می‌ماند محاسبه کرد. این متوسط طول‌عمر (یا به سادگی طول‌عمر) نامیده می‌شود، که در آن [[ثابت زمانی]] نمایی،<math>\tau</math> ، به صورت زیر به ثابت نرخ افت λ مربوط می‌شود:

<math>\tau = \frac{1}{\lambda}.</math>

متوسط طول‌عمر را می‌توان به عنوان یک «زمان مقیاس‌بندی» در نظر گرفت، زیرا معادله افت نمایی را می‌توان برحسب طول‌عمر متوسط، 𝜏، به جای ثابت افت λ نوشت:

<math>N(t) = N_0 e^{-t/\tau}, </math>

و آن 𝜏 زمانی است که در آن جمعیت مجموعه به {{ریاضی|1/e ≈ ۰٫۳۶۷۸۷۹۴۴۱}} برابر مقدار اولیه آن کاهش می‌یابد. این معادل {{ریاضی|log<sub>𝑒</sub>2 ≈ ۱٫۴۴۲۶۹۵}} [[نیمه‌عمر]] است.

=== نیمه‌عمر ===
مشخصه شهودی تر افت نمایی برای بسیاری از افراد زمان مورد نیاز برای کاهش کمیت افت به نصف مقدار اولیه آن است. (اگر N(t) گسسته باشد، این زمان میانه طول‌عمر به‌جای متوسط طول‌عمر است) این زمان [[نیمه‌عمر]] نامیده می‌شود و اغلب با نماد <math>t_{\frac{1}{2} }</math> نشان داده می‌شود. نیمه‌عمر را می‌توان برحسب ثابت افت یا متوسط طول‌عمر نوشت:
:<math>\lambda=\frac{1}{T_{av}}=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}</math>
که در آن T<sub>av</sub> طول‌عمر متوسط است و T<sub>1/2</sub> نیمه‌عمر است.

== کاربردها ==
=== الکترونیک ===
[[بار الکتریکی]] (یا به‌طور معادل، [[پتانسیل الکتریکی|پتانسیل]]) موجود در [[خازن]] (ظرفیت C) با افت نمایی تخلیه می‌شود (زمانی که خازن [[بار الکتریکی (امپدانس)|بار خارجی]] ثابتی با مقاومت R را تجربه می‌کند) و به‌طور مشابه با [[تصویر آینه‌ای]] افت نمایی شارژ می‌شود (زمانی که خازن از یک [[منبع ولتاژ]] ثابت ازطریق یک مقاومت ثابت شارژ می‌شود). ثابت زمانی نمایی برای فرایند <math display="inline">\tau = R \, C </math> است بنابراین نیمه‌عمر <math display="inline"> R  C  \ln(2) </math> است. همین معادلات را می‌توان برای [[دوگانی (مهندسی برق)|دوگان]] جریان در یک سلف اعمال کرد.

=== فیزیک ذرات ===
تعداد ذرات باقیمانده در یک واپاشی از فرمول زیر-که به ثابت واپاشی وابسته است-به‌دست می‌آید:
<math>N=N_{0}e^{-\lambda t} \!</math>

این رابطه در [[واپاشی هسته‌ای]]، میزان واپاشی با مقدار ماده [[پرتوزا]] است. که در این تعریف ''N'' کمیت ماده پرتوزا است. لاندا در اینجا یک [[تناسب (ریاضیات)|ضریب تناسب]] است که مقدار مثبتی داشته و واحد آن معکوس [[زمان]] است.{{نیازمند منبع|date=نوامبر ۲۰۲۴}}

که در آن:
:N تعداد ذرات باقیمانده
:N<sub>0</sub> ذرات اولیه
:<math>\lambda</math> ثابت واپاشی
:t زمان است

== جستارهای وابسته ==
* [[واپاشی پرتوزا]]
* [[رشد نمایی]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{cite encyclopedia|title=McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology|edition=10th|location=New York|publisher=[[McGraw-Hill]]|year=2007|isbn=978-0-07-144143-8|ref={{harvid|McGraw-Hill|2007}}}}
* {{citation|first1=Raymond A.|last1=Serway|first2=Clement J.|last2=Moses|first3=Curt A.|last3=Moyer|year=1989|isbn=0-03-004844-3|title=Modern Physics|publisher=[[Harcourt Brace Jovanovich]]|location=Fort Worth}}
* {{citation|first1=George F.|last1=Simmons|author-link=George F. Simmons|year=1972|title=Differential Equations with Applications and Historical Notes|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|lccn=75173716}}
* {{یادکرد|فصل= |کتاب=آشنایی با فیزیک هسته‌ای (جلد اول) |نویسنده=کنت کرین |ترجمه=ناصر میر فخرایی، مجید مدرس |ناشر=مرکز نشر دانشگاهی |شهر=تهران |کوشش= |ویرایش= |صفحه= |سال= |شابک=۸۱۲۰-۰۱-۹۶۴}}
* مبانی فیزیک هسته‌ای نوشته ریچارد وایدنر نشر دانشگاهی صفحه ۴۷۸ {{شابک|۹۶۴-۰۱-۰۲۲۹-۶}}
{{فیزیک-خرد}}

[[رده:انرژی هسته‌ای]]
[[رده:فیزیک پزشکی]]
[[رده:نمایی‌ها]]