نمایش مبدأ برای اعداد متباین

[[پرونده:Coprime-lattice.svg|بندانگشتی|اعداد متباین]]
در نظریه اعداد، دو [[عدد صحیح]] را '''متباین''' یا '''هم‌اول''' یا '''نسبت به هم اول''' گویند؛ چنانچه [[بزرگترین مقسوم علیه مشترک]] (ب.م.م) این دو عدد، برابر [[۱ (عدد)|یک]] باشد؛ یا به عبارتی هیچ [[مقسوم‌علیه]] مشترکی جز یک نداشته باشند.<ref>{{cite book|last1=Eaton|first1=James S.|title=A Treatise on Arithmetic|date=1872|publisher=Thompson, Bigelow & Brown|location=Boston|page=49|url=https://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog|access-date=10 January 2022|quote=Two numbers are ''mutually'' prime when no whole number but ''one'' will divide each of them}}</ref> بدین ترتیب اگر <math> {a} </math> و <math> {b} </math> اعدادی صحیح باشند و <math> (a,b)=1 </math> باشد؛ آنگاه  <math> {a} </math> و <math> {b} </math> نسبت به هم اول خواهند بود.<ref>{{citation|first1=G.H.|last1=Hardy|first2=E.M.|last2=Wright|title=An Introduction to the Theory of Numbers|edition=6th|publisher=Oxford University Press|year=2008|isbn=978-0-19-921986-5|page=6}}</ref> همچنین هم‌اول بودن دو عدد مانند <math> {a} </math> و <math> {b} </math> را به صورت <math>a \bot b</math> نمایش می‌دهند.

== مثال ==

* دو عدد <math> {6} </math> و <math> {35} </math> را در نظر بگیرید؛ 

اگر بخواهیم عوامل اول این دو عدد را بدست آوریم؛ خواهیم داشت:

{{چپ‌چین}}

<math> 6=2\times3 </math>{{سخ}}<math> 35=5\times7 </math>

{{پایان چپ‌چین}}

بدین ترتیب مشاهده می‌کنیم که در عوامل تجزیه شده دو عدد '''عامل مشترکی''' به جز <math> {1} </math> وجود ندارد؛

بنابراین <math> (6,35)=1 </math> خواهد بود.


پس آنگاه می‌گوییم دو عدد <math> {6} </math> و <math> {35} </math> '''نسبت به هم اول''' هستند.

* اما اکنون دو عدد <math> {14} </math> و <math> {77} </math> را در نظر بگیرید؛ 

اگر بخواهیم عوامل اول این دو عدد را بدست آوریم؛ خواهیم داشت:

{{چپ‌چین}}

<math> 14=2\times7 </math>{{سخ}}<math> 77=7\times11 </math>

{{پایان چپ‌چین}}

بدین ترتیب مشاهده می‌کنیم که در عوامل تجزیه شده دو عدد، علاوه بر عدد <math> {1} </math>، '''عامل مشترک''' دیگری (عدد <math> {7} </math>) نیز وجود دارد. 

بنابراین <math> (14,77)=7 </math> خواهد بود.


پس آنگاه می‌گوییم دو عدد <math> {14} </math> و <math> {77} </math> '''نسبت به هم اول''' نیستند.

'''نکته''': اعداد <math> {1} </math> و <math> {-1} </math> تنها اعدادی هستند که با هر عدد صحیح دیگر متباین هستند؛ همچنین تنها اعدادی هستند که با عدد <math> {0} </math> متباین هستند.

'''نکته''': از [[الگوریتم اقلیدس]] می‌توان برای تشخیص هم‌اول بودن اعداد استفاده کرد.


== نکات ==

* دو [[عدد طبیعی]] متوالی همواره نسبت به هم متباین هستند: (<math> {a} </math> عددی طبیعی می‌باشد.)

::مثال 

{{وسط‌چین}}

<math> (a,a+1)=1\Rightarrow(999,1000)=1 </math>

{{پایان وسط‌چین}}

* توان‌های <math> {2} </math> همواره نسبت به اعداد فرد، اول هستند:(<math> {n} </math> و <math> {k} </math> اعدادی طبیعی هستند.)

::مثال

{{وسط‌چین}}

<math> (2^n,2k-1)=1\Rightarrow(64,79)=1 </math>

{{پایان وسط‌چین}}

* تمامی اعداد اول '''متمایز'''، نسبت به هم اول هستند:(<math> {x} </math> و <math> {y} </math> اعدادی اول هستند.)

::مثال

{{وسط‌چین}}

<math> (x,y)=1\Rightarrow(13,19)=1 </math>

{{پایان وسط‌چین}}

* اگر دو عدد طبیعی نسبت به هم متباین باشند؛ (یعنی (ب.م.م) دو عدد برابر با یک باشد.) آنگاه (ک.م.م) آنها، برابر با [[حاصل‌ضرب|حاصل ضرب]] آن دو عدد خواهد بود. (<math> {m} </math> و <math> {n} </math> اعدادی طبیعی هستند.)

::مثال

{{وسط‌چین}}

<math> (m,n)=1 , [m,n]=mn\Rightarrow </math>

<math>  (7,25)=1 , [7,25]=7\times25=175 </math>

{{پایان وسط‌چین}}

== منابع ==
{{پانویس}}
[[رده:نظریه اعداد]]