نمایش مبدأ برای ارتفاع (مثلث)

[[پرونده:Triangle.Orthocenter.svg|بندانگشتی|سه ارتفاع مثلث]]
'''ارتفاع یک مثلث''' در [[هندسه]] عبارت است از [[پاره‌خط]]ی که از یک [[رأس (هندسه)|رأس]] آغاز می‌شود و بر ضلع مقابل مثلث (یا امتداد آن) [[تعامد (هندسه)|عمود است]] ([[زاویه قائمه]] تشکیل می‌دهد). محل برخورد ارتفاع با قاعده یا امتداد آن، ''پای عمود'' نام دارد. معمولاً به طول ارتفاع همان ارتفاع گفته می‌شود که برابر است با فاصلهٔ میان رأس و قاعده (یا قاعدهٔ امتدادیافته).

از ارتفاع در محاسبهٔ [[مساحت]] مثلث استفاده می‌شود که برابر است با نصف [[حاصل‌ضرب|حاصل ضرب]] طول ارتفاع در قاعدهٔ آن. در نتیجه بلندترین ارتفاع به کوتاه‌ترین قاعدهٔ مثلث عمود می‌شود. ارتفاع مثلث به مبحث [[توابع مثلثاتی]] نیز مرتبط است.
یکی از ارتفاع‌های مثلث منفرجه، بیرون شکل است.

== قضیه‌های مرتبط ==
=== ارتفاع و پیرامون مثلث ===
برای هر مثلثی با اضلاع ''a, b، c'' و نصف محیط برابر با ''s'' = (''a+b+c'') / 2 طول ارتفاع رسم شده از رأس ''a'' برابر است با:
:<math>h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}.</math>
این نتیجه از [[فرمول هرون]] بدست آمد.

=== دایرهٔ محاطی ===
فرض کنید مثلثی با اضلاع ''a, b، c'' و ارتفاع‌های ''h''<sub>''a''</sub>, ''h''<sub>''b''</sub>, و ''h''<sub>''c''</sub> داریم. اگر شعاع دایرهٔ محاطی را ''r'' بنامیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:
:<math>\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}.</math>

=== دایرهٔ محیطی ===
اگر ارتفاع رسم شده از یک رأس را ''h<sub>a</sub>''، دو ضلع دیگر را به ترتیب ''b'' و ''c'' و شعاع [[دایره محیطی|دایرهٔ محیطی]] را ''R'' بنامیم. آنگاه داریم:<ref name=Johnson>Johnson, Roger A. , ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ. , 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|p. 71}}

:<math>h_a=\frac{bc}{2R}.</math>

=== نقطهٔ درونی ===
اگر ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, و ''p''<sub>3</sub> به ترتیب فاصلهٔ نقطهٔ دلخواه ''P'' از اضلاع مثلث باشند و ''h''<sub>1</sub>, ''h''<sub>2</sub>, و ''h''<sub>3</sub> شعاع‌های متناظر باشند، آنگاه رابطهٔ زیر درست خواهد بود:<ref name=Johnson/>{{rp|p. 74}}

:<math>\frac{p_1}{h_1} +\frac{p_2}{h_2} + \frac{p_3}{h_3} = 1.</math>

=== مساحت ===
اگر ارتفاع‌های رسم شده از رأس‌های ''a'', ''b'' و ''c'' به ترتیب <math>h_a</math>, <math>h_b</math>, و <math> h_c</math> باشند با فرض داشتن <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math>، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:<ref>Mitchell, Douglas W. , "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>

:<math>\mathrm{Area}^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.</math>

=== نقطه‌ای دلخواه روی ارتفاع ===
اگر ''E'' نقطه‌ای دلخواه بر روی ارتفاع ''AD'' از مثلث ''ABC'' باشد آنگاه:<ref name="Posamentier">[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co. , second revised edition, 1996.</ref>{{rp|77–78}}

:<math>AC^2+EB^2=AB^2+CE^2</math>

=== مثلث‌های ویژه ===
==== مثلث متساوی الاضلاع ====
برای هر نقطهٔ دلخواه ''P'' در یک [[مثلث متساوی‌الاضلاع]]، مجموع خط‌های عمود رسم شده از آن نقطه بر روی اضلاع مثلث برابر است با طول ارتفاع مثلث. به این مطلب، [[قضیه ویویانی|قضیهٔ ویویانی]] می‌گویند.

==== مثلث قائم‌الزاویه ====
در یک [[مثلث قائم‌الزاویه]]، با فرض ارتفاع‌های ''h''<sub>''a''</sub>, ''h''<sub>''b''</sub>, و ''h''<sub>''c''</sub> (واضح است که دو ارتفاع خود همان دو ضلع مثلث اند) رابطهٔ زیر میان سه ارتفاع مثلث برقرار است:<ref>Voles, Roger, "Integer solutions of <math>a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}</math>," ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269–271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313–317.</ref>

:<math>\frac{1}{h_a ^2}+\frac{1}{h_b ^2}=\frac{1}{h_c ^2}.</math>

=== مرکز ارتفاعی ===
به محل همرسی ارتفاع‌ها [[مرکز ارتفاعی مثلث]] گویند(<math> H </math>). [[خط اویلر]] مثلث از مرکز ارتفاعی نیز می‌گذرد.

=== مثلث پادک ===
[[File:Altitudes and orthic triangle SVG.svg|thumb|279px|مثلث abc، مثلث پادکِ مثلث ABC است.]]

اگر محل برخورد ارتفاع‌ها با اضلاع به‌ترتیب <math>a, b, c </math> باشد، مثلث <math>abc</math> [[مثلث پادک]] می‌گوییم. ارتفاع‌های مثلث، [[نیمساز]]‌های [[مثلث پادک]] هستند، و مرکز ارتفاعیِ مثلث، مرکز [[دایره محاطی مثلث]] پادک است. به مثلث پادک، مثلث ارتفاعیه نیز می‌گویند.

اگر مثلث اصلی را <math>ABC  </math> بنامیم مثلث پادک را <math>A'B'C'  </math> بنامیم داریم:

(<math>A<90  </math>): <math>S_{A'B'C'} = \bigl(1-\cos^2\hat{A}-\cos^2\hat{B}-\cos^2\hat{C}\bigr)S_{ABC}  </math>

(<math>A>90  </math>): <math>S_{A'B'C'} = \bigl(\cos^2\hat{A}+\cos^2\hat{B}+\cos^2\hat{C}-1\bigr)S_{ABC}  </math>

(<math>A<90  </math>): <math>2P_{A'B'C'} = a\cos\hat{A}+b\cos\hat{B}+c\cos\hat{C}  </math>

(<math>A>90  </math>): <math>2P_{A'B'C'} = -a\cos\hat{A}+b\cos\hat{B}+c\cos\hat{C}  </math>

== جستارهای وابسته ==
* [[میانه مثلث]]
* [[نیمساز]]
* [[عمودمنصف]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}

[[رده:خطوط راستی که برای یک مثلث تعریف شده‌اند]]