نمایش مبدأ برای اتحاد (ریاضیات)

[[پرونده:Trig functions on unit circle.svg|بندانگشتی| اثبات بصری [[همانی فیثاغورس|اتحاد فیثاغورس]]. برای هر زاویه θ، نقطه{{رچ}}cos(θ),sin(θ)){{چر}}) به روی [[دایره واحد]] ای میفتد که معادله ''x''<sup>۲</sup>+''y''<sup>۲</sup>=۱ را ارضاء می‌کند؛ بنابراین cos<sup>۲</sup>(θ)+sin<sup>۲</sup>(θ)=۱.]]
در [[ریاضیات]] یک '''اتحاد''' یک رابطه برابری ''A''&#x20;=&#x20;''B ''است که ''A'' و ''B'' شامل تعدادی [[متغیر (ریاضی)|متغیر]] هستند و ''A'' و ''B، ''فارغ از اینکه متغیرهایشان چه مقادیری (معمولاً عددی) می‌گیرند، مقادیر یکسانی را تولید می‌کنند. به عبارت دیگر ''A''&#x20;=&#x20;''B'' ''اتحاد'' است اگر ''A'' و ''B'' [[تابع|توابع]] یکسانی را تعریف کنند. این به این معنی است که یک ''اتحاد، ''یک ''برابری'' بین توابعیست که متفاوت تعریف شده‌اند. برای مثال {{چر}} (''a''&#x20;+&#x20;''b'')<sup>۲</sup> &#x20;=&#x20; ''a''<sup>۲</sup>&#x20;+&#x20;۲''ab''&#x20;+&#x20;''b''<sup>۲</sup> {{رچ}} و {{Nowrap|1=cos<sup>۲</sup>(''x'') + sin<sup>۲</sup>(''x'') = ۱}} همانی‌اند. همانی‌ها، گاهی اوقات، بجای [[علامت مساوی]] = توسط نماد [[نوار سه‌گانه]] ≡ نشان داده می‌شوند.<ref>Weiner, Joan (2004).</ref>

== اتحادهای رایج ==
=== اتحادهای مثلثاتی ===
به لحاظ هندسی، این‌ها، همانی‌هایی شامل توابعی خاصی از یک یا چند [[زاویه]] هستند. آن‌ها متمایز از اتحادهای مثلث اند که همانی‌هایی شامل هم زاویه و هم ضلع یک [[مثلث]] می‌باشند. تنها مورد پیشین در این مقاله پوشش داده شده‌است.

این همانی‌ها هنگامی مفید واقع می‌شوند که عبارات شامل [[توابع مثلثاتی]] نیازمند ساده‌سازی‌اند. یک کاربرد مهم، [[انتگرال]]‌گیری از توابع غیر توابع مثلثاتی است: روشی معمول این است که ابتدا ضابطه با یک تابع مثلثاتی [[جانشینی مثلثاتی|جایگزین]] شده و سپس، انتگرال به دست آمده با یک اتحاد مثلثاتی جایگزین شود.

یک مثال <math> \sin ^2 \theta +  \cos ^2 \theta \equiv 1, \,</math> برای همه مقادیر [[عدد مختلط|مختلط]] <math>\theta</math> (چون اعداد مختلط <math>\mathbb{C}</math> در دامنه sin و cos هستند) صادق است؛ بر خلاف
:<math>\cos \theta = 1,\,</math>
که تنهای برای مقادیر مشخصی از <math>\theta</math> همهٔ آنها. برای مثال معادلهٔ اخیر برای <math> \theta = 0,\,</math> درست بوده و برای <math>\theta = 2\,</math>

=== اتحادهای توانی ===
اتحادهای زیر، برای همه مؤلفه‌های صحیح برقرار است، مادامی که پایه غیر صفر باشد:
:<math>\begin{align}
      b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
        (b^m)^n &= b^{m\cdot n} \\
  (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}</math>
توان نیست نا[[خاصیت جابه‌جایی|جابجایی]] است. این در تضاد با جمع و ضرب است که برای مثال، {{Nowrap|1= ۲ + ۳ = ۳ + ۲ = ۵}} و {{Nowrap|1= ۲ · ۳ = ۳ · ۲ = ۶}}؛ اما {{Nowrap|1=۲<sup>۳</sup> = ۸}} در حالی که {{Nowrap|1=۳<sup>۲</sup> = ۲}}.

توان، حتی [[شرکت پذیر]] هم نیست. جمع و ضرب هستند. برای مثال
{{Nowrap|1=(۲ + ۳) + ۴ = ۲ + (۳ + ۴) = ۹}} و {{Nowrap|1=(۲ · ۳) · ۴ = ۲ · (۳ · ۴) = ۲۴}}؛ اما ۲<sup>۳</sup> به توان ۴، برابر ۸<sup>۴</sup> یا ۴٬۰۹۶ است، در حالی که ۲ به توان ۳<sup>۴</sup> برابر با ۲<sup>۸۱</sup> یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲ است. به‌طور قراردادی، بدون پرانتز، ترتیب محاسبه از بالا به پایین است و نه از پایین به بالا:
:<math>b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q} .</math>

=== اتحادهای لگاریتمی ===
چندین فرمول مهم، که گاهی اوقات به نام ''اتحاد لگاریتمی ''یا ''قوانین لگاریتم ''شناخته می‌شوند، [[لگاریتم]]<nowiki/>‌ها را به یک دیگر مرتبط می‌سازند.<ref>All statements in this section can be found in {{Harvard citations|nb=yes|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=section 4}}, {{Harvard citations|last1=Downing|first1=Douglas|year=2003|loc=p. 275}}, or {{Harvard citations|nb=yes|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1}}, for example.</ref>

==== ضرب، باقیمانده، توان و ریشه ====
لگاریتم ضرب چند عدد، برابر است با حاصل جمع لگاریتم اعداد در حالی که ضرب شده‌اند؛ لگاریتم تقسیم دو عدد، برابر با تفاضل لگاریتم‌های آن دو عدد است. لگاریتم از توان p ام یک عدد، برابر با مضرب ''p'' ام لگاریتم خود عدد است؛ لگاریتم ریشهٔ ''p ''ام، برابر با لگاریتم عدد است که تقسیم بر ''p ''شده. تعداد تقسیم شده توسط ''p''. جدول زیر، این همانی‌ها را با مثال فهرست کرده‌است. هر یک از این همانی‌ها را می‌توان پس از جایگزینی تعاریف لگاریتم{{رچ}} x = b{{درشت|<sup>log<sub>b</sub>(x)</sup>}}{{nowrap begin}}x = b{{درشت|<sup>log<sub>b</sub>(x)</sup>}}{{nowrap end}} {{چر}} و/یا {{رچ}} y = b{{درشت|<sup>log<sub>b</sub>(y)</sup>}}{{nowrap begin}}y = b{{درشت|<sup>log<sub>b</sub>(y)</sup>}}{{nowrap end}} {{چر}} در سمت چپ به دست آورد.<center class="">
{| class="wikitable"
! قاعده
! فرمول
! مثال
|-
| ضرب
| <cite id="labegarithmProducts"><math> \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) \,</math></cite>
| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5 \,</math>
|-
| تقسیم
| <math>\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) \,</math>
| <math> \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4</math>
|-
| توان
| <cite id="labelLogarithmPowers"><math>\log_b(x^p) = p \log_b (x) \,</math></cite>
| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,</math>
|-
| ریشه
| <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p \, </math>
| <math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|}
</center>

==== تغییر پایه ====
لگاریتم{{رچ}} log<sub>''b''</sub>(''x'') {{چر}} را می‌توان با استفاده از لگاریتم ''x'' و ''b ''نسبت به یک پایهٔ دلخواهِ ''k،'' و با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:
: <cite id="labelLogarithmBaseChange"><math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.\, </math></cite>
[[ماشین حساب]]‌های علمی معمول، لگاریتم را بر مبنای ۱۰ و ''[[عدد e|e]] ''محاسبه می‌کنند.<ref>{{Citation|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|year=1999|last1=Bernstein|last2=Bernstein|first1=Stephen|first2=Ruth|series=Schaum's outline series|location=New York|publisher=[[McGraw-Hill]]|isbn=978-0-07-005023-5}})</ref> لگاریتم با توجه به هر پایه ''b'' تعیین می‌شود با استفاده از هر کدام از این دو لگاریتم قبلی فرمول:
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \,</math>
اگر عدد ''x'' و لگاریتمش {{رچ}}log<sub>''b''</sub>(''x'') {{چر}} بر مبنای عددی نامعلوم مثل ''b''داده شده باشند، پایه به صورت زیر بدست می‌آیند:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>

=== اتحادهای تابع هذلولوی ===
توابع هذلولوی، اتحادهای بسیاری را ارضاء می‌کنند که همه آنها، در ظاهر مشابه [[فهرست اتحادهای مثلثاتی|اتحادهای مثلثاتی]]‌اند. در واقع قاعدهٔ '''Osborn, '''<ref>{{Cite journal|title=109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae|last=Osborn|first=G.|date=1 January 1902|journal=The Mathematical Gazette|issue=34|doi=10.2307/3602492|volume=2|pages=189–189|jstor=3602492}}</ref> می‌گوید که هر تساوی مثلثاتی را می‌توان با گسترش کامل آن به فرم توان‌های اصلی از سینوس و کسینوس، به یک تساوی هذلولوی تبدیل کرد، بدین صورت کهٔ sin به sinh، و cos به cosh تبدیل شده و علامت هر عبارت که شامل مضربی از ۲، ۶، ۱۰، ۱۴، … sinhs است، تغییر کند.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC|title=Technical mathematics with calculus|last=Peterson|first=John Charles|publisher=Cengage Learning|year=2003|isbn=0-7668-6189-9|edition=3rd|page=1155}}</ref>

[[تابع گودرمانی]]، رابطه‌ای مستقیم بین توابع دوار و [[تابع هذلولوی|توابع هذلولوی]] که شامل اعداد مختلط نیستند، برقرار می‌سازد.

== جستارهای وابسته ==
* [[همانی حسابداری|اتحاد حسابداری]]
* [[فهرست همانی‌های ریاضی|فهرست اتحادهای ریاضی]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [https://web.archive.org/web/20180205001304/https://encyclopedia-of-equation.webnode.jp/ Encyclopedia of Equation] Online encyclopedia of mathematical identities
* [http://sites.google.com/site/tpiezas/Home/ A Collection of Algebraic Identities]
{{پایان چپ‌چین}}
[[رده:جبر مقدماتی]]
[[رده:اتحادهای ریاضی]]
[[رده:هم‌ارزی]]