نمایش مبدأ برای آنالیز فوریه

'''آنالیز فوریه''' در [[ریاضیات]] مطالعه چگونگی نمایش یا تخمین [[تابع]]‌های عمومی به وسیله مجموعی از [[تابع‌های مثلثاتی]] است. این تحلیل از مطالعات مربوط به [[سری فوریه]] آغاز گردید و به بزرگداشت [[ژوزف فوریه]] که نشان داد که نمایش یک تابع به کمک [[تابع‌های مثلثاتی]] به ساده شدن مسئلهٔ [[انتقال گرما]] کمک می‌کند، ''فوریه'' نام گرفت.

امروزه تحلیل فوریه طیف گسترده‌ای از [[ریاضیات]] را در بر می‌گیرد. در علوم و [[مهندسی]]، تجزیهٔ یک تابع به قسمت‌های ساده‌تر معمولاً تحلیل فوریه و روند بازسازی تابع از این قسمت‌های ساده را '''ترکیب فوریه''' می‌نامند. البته در [[ریاضیات]] عبارت تحلیل فوریه برای هر دو عمل کاربرد دارد.

روند تجزیه به تنهایی [[تبدیل فوریه]] نامیده می‌شود. این تبدیل‌ها نیز با توجه به دامنه و ویژگی‌های مختلف تابعی که تبدیل می‌شود، نام‌های جزئی‌تری به خود می‌گیرند. علاوه بر این، مفهوم کلی تحلیل فوریه در طول زمان گسترده‌تر شده و به موضوعات انتزاعی و عمومی دیگری نیز تعلق می‌گیرد؛ این مسائل به‌طور کلی [[تحلیل هارمونیک]] نامیده می‌شوند. هر تبدیلی که برای تحلیل استفاده می‌شود ([[فهرست تبدیل‌های مرتبط با تبدیل فوریه]] را مشاهده کنید) یک تبدیل معکوس نیز دارد که به‌عنوان ترکیب کاربرد دارد.
== انواع تحلیل‌های فوریه ==
[[پرونده:Variations of the Fourier transform.tif|بندانگشتی|چپ|400px|نمایش تابع‌های [[دیراک کام]] و [[قضیه کانولوشن]] برای نشان دادن تأثیر نمونه‌برداری با [[دورهٔ تناوب]] یا [[جمع تناوبی]].]]
=== تبدیل فوریه (پیوسته) ===
{{اصلی|تبدیل فوریه}}
در بیشتر اوقات عبارت کلی ''تبدیل فوریه'' به این نوع تبدیل اشاره دارد. این تبدیل یک تابع با متغیر حقیقی را به یک [[تابع پیوسته]] (با متغیر حقیقی) تصویر می‌کند. تبدیل فوریه یک تابع<math>x(t)</math> (در حالت کلی) مختلط است و چنین به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
<math>X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{- i 2\pi f t} dt</math>
{{پایان وسط‌چین}}
اگر متغیر t نشان‌دهنده زمان باشد، متغیر f دارای [[بعد]] [[بسامد]] (فرکانس) خواهد بود. این تابع، نمایش تابع اولیه در [[حوزه فرکانس]] نامیده می‌شود. تابع اولیه از تبدیل فوریهٔ خود با استفاده از معکوس تبدیل بالا چنین به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
<math>x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \cdot e^{i 2\pi f t} df</math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== سری فوریه ===
{{اصلی|سری فوریه}}
[[تبدیل فوریه]] یک [[تابع متناوب]] <math>s_P(t)</math> با دورهٔ تناوب <math>P</math> یک تابع [[دیراک کام]] می‌شود که توسط یک سری از [[ضریب|ضرایب]] پیچیده تعدیل شده‌است. در واقع برای تمام [[اعداد صحیح]] <math>k</math> داریم:
{{وسط‌چین}}
<math>S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{P} t}\, dt</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در آن <math>\int_{P}</math> نشان‌دهندهٔ [[انتگرال]] بر روی هر بازه‌ای با طول <math>P</math> است.

تبدیل معکوس که با نام '''سری فوریه''' شناخته می‌شود، یک نمایش از <math>s_P(t)</math> است که با مجموع بی‌نهایت تابع [[سینوسی]] مرتبطِ هارمونیک یا تابع‌های [[فرمول اویلر|نمایی پیچیده]] که هرکدام دامنه و فازی با توجه به ضرایب دارند، مشخص می‌شود.
{{وسط‌چین}}
<math>s_P(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{i 2\pi \frac{k}{P} t} \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\ \delta \left(f-\frac{k}{P}\right)</math>
{{پایان وسط‌چین}}

تابع <math>s_P(t)</math> خودش به‌صورت [[مجموع تناوبی]] یک تابع دیگر به نام <math>s(t)</math> است: <math>s_P(t)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} s(t-kP)</math> و

ضرایب با نمونه‌های <math>s(f)</math> با دورهٔ تناوب گسسته <math>1/P</math> متناسب هستند: <math>S[k] =\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right)</math>

== جستارهای وابسته ==
* [[فهرست تبدیل‌های مرتبط با تبدیل فوریه]]
* [[تبدیل لاپلاس]]
* [[موجک]]
* [[تبدیل فوریه-بسل]]
* [[پایه (جبر خطی)|پایهٔ جبر خطی]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
{{چپ‌چین}}
* {{یادکرد
 | نام خانوادگی۱ = Conte | نام۱ = S. D.
 | نام خانوادگی۲ = de Boor | نام۲ = Carl
 | عنوان = Elementary Numerical Analysis
 | مکان = New York
 | ناشر=McGraw Hill, Inc
 | isbn = 0-07-066228-2
 | سال=1980
 |زبان=english
}}
* {{citation|first=L.|last=Evans|title=Partial Differential Equations|publisher=American Mathematical Society|year=1998|isbn=3-540-76124-1}}
* Howell, Kenneth B. (2001). ''Principles of Fourier Analysis'', CRC Press. {{ISBN|978-0-8493-8275-8|en}}
* Kamen, E.W., and B.S. Heck. "Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab". {{ISBN|0-13-017293-6|en}}
* {{citation|first=Donald E.|last=Knuth|title=The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms|edition=3rd|year=1997|publisher=Addison-Wesley Professional|isbn=0-201-89684-2|location=Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305}}
* Polyanin, A.D., and A.V. Manzhirov (1998). ''Handbook of Integral Equations'', CRC Press, Boca Raton. {{ISBN|0-8493-2876-4|en}}
* {{citation|first=Walter|last=Rudin|title=Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Interscience|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}
* {{یادکرد
 | نام خانوادگی = Smith | نام = Steven W
 | نشانی = http://www.dspguide.com/pdfbook.htm
 | عنوان = The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
 | مکان = San Diego, Calif.
 | ناشر=California Technical Publishing
 | سال=1999
 | isbn=0-9660176-3-3
 |زبان=enligsh
}}
* Stein, E.M., and G. Weiss (1971). ''Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces''. Princeton University Press. {{ISBN|0-691-08078-X|en}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{آمار}}
{{آنالیز-پاورقی}}
{{ریاضیات صنعتی و کاربردی}}

[[رده:آنالیز فوریه]]
[[رده:پردازش سیگنال دیجیتال]]
[[رده:تبدیل‌های انتگرالی]]
[[رده:تحلیل سری زمانی]]
[[رده:ریاضیات رایانش]]
[[رده:ژوزف فوریه]]
[[رده:صوت‌شناسی]]
[[رده:ریاضی فیزیک]]